O que é a trigonometria?

Trigonometria (do grego trigōnon "triângulo" + metron "medida") é um ramo da matemática que estuda as relações entre os comprimentos de 2 lados de um triângulo rectângulo (triângulo onde um dos ângulos mede 90 graus), para diferentes valores de um dos seus ângulos agudos. A abordagem da trigonometria penetra outros campos da geometria, como o estudo de esferas usando a trigonometria esférica.

A trigonometria tem aplicações importantes em vários ramos, tanto como na matemática pura, quanto na matemática aplicada e, consequentemente, nas ciências naturais. A trigonometria é comummente ensinada no Ensino Médio.

Dois triângulos são ditos semelhantes se um pode ser obtido pela expansão uniforme do outro. Este é o caso se, e somente se, seus ângulos correspondentes são iguais. O fato crucial sobre triângulos semelhantes é que os comprimentos de seus lados são proporcionais. Isto é, se o maior lado de um triângulo é duas vezes maior que o lado do triângulo similar, então o menor lado será também duas vezes maior que o menor lado do outro triângulo, e o comprimento do lado médio será duas vezes o valor do lado correspondente do outro triângulo. Assim, a razão do maior lado e menor lado do primeiro triângulo será a mesma razão do maior lado e o menor lado do outro triângulo.

Usando estes fatos, definem-se as funções trigonométricas, começando pelos triângulos rectângulos (triângulos com um ângulo recto 90 graus ou π/2 radianos). O maior lado em um triângulo qualquer é sempre o lado oposto ao maior ângulo e devido a soma dos ângulos de um triângulo ser 180 graus ou π radianos, o maior ângulo em um triângulo rectângulo é o ângulo recto. O maior lado nesse triângulo, consequentemente, é o lado oposto ao ângulo recto, chamado de hipotenusa e os demais lados são chamados de catetos.

Dois triângulos rectângulos que compartilham um segundo ângulo  são necessariamente similares, e a proporção (ou razão) entre o comprimento do lado oposto a e o comprimento da hipotenusa será, portanto, a mesma nos dois triângulos. Este valor será um número entre 0 e 1 que depende apenas de  Este número é chamado de seno de A e é escrito como  Similarmente, pode-se definir :

• o cosseno (ou co-seno) de  é a proporção do comprimento do cateto adjacente ao ângulo  em relação ao comprimento da hipotenusa
• a tangente trigonométrica de  é a proporção do comprimento do cateto oposto ao ângulo  em relação ao comprimento do cateto adjacente
• a co-tangente de  é a proporção do comprimento do cateto adjacente ao ângulo  em relação ao comprimento do cateto oposto - é o inverso da tangente
• a secante trigonométrica de  é a proporção do comprimento da hipotenusa em relação ao comprimento do cateto adjacente ao ângulo  - é o inverso do cosseno
• a co-secante de  é a proporção do comprimento da hipotenusa em relação ao comprimento do cateto oposto ao ângulo  - é o inverso do seno.

O círculo unitário, círculo trigonométrico é um círculo cujo centro está localizado na origem do plano cartesiano e seu raio mede 1. É usado no estudo de funções trigonométricas como seno, cosseno e tangente. A partir do círculo unitário é possível deduzir várias identidades trigonométricas.

Nota:

Ramo da matemática que trata das relações entre os lados e ângulos de triângulos (polígonos com três lados). A trigonometria plana lida com figuras geométricas pertencentes a um único plano, e a trigonometria esférica trata dos triângulos que são uma secção da superfície de uma esfera.

A trigonometria começa como uma matemática eminentemente prática para determinar distâncias que não podiam ser medidas directamente. Serve à navegação, à agrimensura e à astronomia. Ao lidar com a determinação de pontos e distâncias em três dimensões, a trigonometria esférica amplia sua aplicação à física, à química e a quase todos os ramos da engenharia, em especial no estudo de fenómenos periódicos, como a vibração do som e o fluxo de corrente alternada.

A trigonometria começa com as civilizações babilônica e egípcia e desenvolve-se na Antiguidade graças aos gregos e indianos. A partir do século VIII, astrônomos  islâmicos aperfeiçoam as descobertas gregas e indianas, notadamente em relação às funções trigonométricas. A trigonometria moderna tem início com o trabalho de matemáticos no Ocidente a partir do século XV. A invenção dos logaritmos pelo escocês John Napier e do cálculo diferencial e integral por Isaac Newton auxilia os cálculos trigonométricos.