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sexta-feira, 16 de maio de 2014

Funções pares e ímpares

Funções Pares e Ímpares:

  • Uma função f é denominada par quando f(x) = f(-x), para todo x \in \operatorname{Dom}(f) (domínio de f).
  • Uma função f é denominada ímpar quando f(x) = -f(-x), para todo x \in \operatorname{Dom}(f).

Propriedades das funções

Continuidade

Uma função é dita contínua sobre um intervalo dado, [a,b], se possui um valor definido para todos os números contidos nesse intervalo. Por exemplo, a função:
y = \sqrt{x}, definida para o contradomínio y \in \mathbb{R}, não é contínua no intervalo ]-\infty,+\infty[, uma vez que não está definida para x < 0.

Crescimento e decrescimento

Uma função é dita crescente, sobre um intervalo [A,B], se para cada valor de x + ε (ε sendo qualquer valor positivo), f(x) < f(x + \epsilon).

Paridade

A paridade de uma função é uma propriedade relacionada a simetria da mesma, e portanto só pode ser definida para funções cujo domínio é simétrico (veja a definição de conjunto simétrico). Sendo x\!\, um elemento pertencente a um conjunto simétrico A\!\,, uma função é dita:
  • par, se para todo x\!\,, f(x) = f(-x)\!\,; ou seja, o valor da função é definido apenas de acordo com o módulo da variável independente;
  • ímpar, se para todo x\!\,, f(x) = -f(-x)\!\,;
  • sem paridade, se não corresponder a nenhum dos dois casos anteriores.

Função 5x2 + 120Função x3
Exemplo de função par: -5x2 + 120. Observe que para qualquer valor de x, f(x) = f(-x); por exemplo:
f(2) = -5*(22) + 120 = -5*4 + 120 = 100,
f(-2) = -5*(-22) + 120 = -5*4 + 120 = 100
f(2) = f(-2)
Exemplo de função ímpar: x3. Observe que para qualquer valor de x, f(x) = -f(-x); por exemplo:
f(2) = 23 = 8
f(-2) = -23 = -8
f(2) = -f(-2)

Funções de primeiro e segundo grau

Existem dois tipos especiais de funções a respeito das quais cabe fazer comentários aqui. Uma função é dita do primeiro grau quando pode ser expressa na forma:
y = ax + b,\, a \in \mathbb{R^{*}}, b \in \mathbb{R}

Função de primeiro grau, definida por y = 6x + 5.
A função do primeiro grau sempre toma no gráfico a forma de pontos colineares. Se o domínio da função for o conjunto R, tem-se uma recta.
O valor da constante a, na função y = ax + b e que tem domínio igual a R, é chamado coeficiente angular da recta que define a função. Ele pode ser obtido a partir da relação entre quaisquer dois pontos da recta (ou valores associados da variável independente e dependente), conforme a equação:
a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}
Para o caso específico da constante b ser igual a zero, a função y = ax é chamada função linear.

Função do segundo grau:
y = x^2.
Já a função do segundo grau toma a forma:
y = ax^2 + bx + c
a \in \mathbb{R^{*}}, b \in \mathbb{R}, c \in \mathbb{R}
Graficamente, a função do segundo grau é sempre uma parábola, cuja concavidade depende unicamente do sinal da constante a. Se a for negativo, a parábola tem o vértice voltado "para cima"; se a for positivo, a parábola tem o vértice voltado "para baixo". (Considerando a representação usual do plano cartesiano.)
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