Música e a Matemática

Os teóricos da música com frequência usam a matemática para entender a estrutura musical e comunicar novas maneiras de ouvir música. Isto levou a aplicações musicais da teoria dos conjuntos, álgebra abstracta e teoria dos números. Os estudiosos da música também usaram a matemática para entender as escalas musicais, e alguns compositores incorporaram a proporção áurea e o número de Fibonacci em seu trabalho.

A teoria musical dos conjuntos usa alguns dos conceitos da teoria matemática dos conjuntos para organizar os objectos musicais e descrever suas relações.

Para analisar a estrutura de uma peça musical (tipicamente de atonal) usando a teoria musical dos conjuntos, começa-se geralmente com um conjunto de sons, que podem formar motivos ou acordes. Aplicando operações simples como transposição e inversão descobre-se estruturas profundas na música. Esse tipo de operação é chamado de isometria, porque preserva os intervalos entre sons num conjunto.

Nota	Frequência (Hz)	Frequência Distância da nota anterior	Log frequência log2 f	Log frequência Distância da nota anterior
lá2	110.00	N/A	6.781	N/A
lá2#	116.54	6.54	6.864	0.0833 (or 1/12)
si2	123.47	6.93	6.948	0.0833
dó2	130.81	7.34	7.031	0.0833
dó2#	138.59	7.78	7.115	0.0833
ré2	146.83	8.24	7.198	0.0833
ré2#	155.56	8.73	7.281	0.0833
mi2	164.81	9.25	7.365	0.0833
fá2	174.61	9.80	7.448	0.0833
fá2#	185.00	10.39	7.531	0.0833
sol2	196.00	11.00	7.615	0.0833
sol2#	207.65	11.65	7.698	0.0833
lá3	220.00	12.35	7.781	0.0833

Um truque matemático....

Sabem fazer contas de multiplicar sem utilizar maquina de calcular e só usando linhas?

......


Amanha vou mostrar vos como é fácil fazer contas de multiplicar e até é divertido!!!

Frase do dia....

"Não há ciência que fale das harmonias da natureza com mais clareza do que a Matemática."

                                                                                                      Paulo Carus

método de estudo!!!

Método para estudar Matemática

O que é estudar? Muitas vezes ouvimos a expressão “quanto mais estudo, piores notas tenho!”. Porque será que isto acontece? Na verdade, basta um jovem não ter um método de estudo, e a quantidade não se irá refletir na qualidade. E com a falta de eficácia desse estudo vem a desmotivação.

Mas além de um método de estudo e do tempo dedicado, existem também outros fatores importantes para o sucesso escolar, tais como uma boa organização dos apontamentos, um bom ambiente de estudo, e ainda, uma boa alimentação, uma quantidade de horas de sono adequada, e o não abuso da utilização de novas tecnologias.  

Estudar Matemática

Estudar Matemática é muito diferente de estudar para disciplinas mais teóricas, e um dos erros fundamentais de muitos alunos é tentarem estudar da mesma maneira. Matemática não se estudar simplesmente lendo. Mas também não se estuda, simplesmente fazendo exercícios. Outro dos erros dos alunos é fazerem as tarefas pedidas sem a preocupação de perceber o que vai fazer. Para muitos jovens, basta fazer, e assim o stor já não chateia.Deve haver uma estruturação do nosso estudo, um método, de maneira a que todo o processo seja construtivo.

Como?

Método de estudo

Em primeiro lugar é essencial entender que não se estuda Matemática para as fichas de avaliação. Estuda-se sempre. Seja a realizar os exercícios na sala de aula, seja a fazer um TPC, seja quando se estuda especificamente para uma ficha de avaliação. Assim, não se pode pensar num método de estudo para os testes, mas sim um método de estudo que seja a base para o nosso estudo na Matemática.

A minha experiência com alunos, aos quais ensino sempre este método, ensinou-me que nem todos os seguem, mas os que o fazem, conseguem melhorar significativamente os seus resultados escolares. Aqueles que não o seguem, muitas vezes é devido ao facto deste método ocupar um pouco mais de tempo no dia-a-dia, como verá a seguir. No entanto, estamos a falar de mais alguns poucos minutos, mas que farão uma grande diferença.

• Os 3 passos na realização de uma tarefa

1º - Antes de qualquer tarefa, deve-se sempre ler os apontamentos teóricos sobre o tema e ver (e/ou resolver) os exercícios dados como exemplos ou outros já realizados na aula.

2º - Fazer a tarefa. À medida que alguma dificuldade apareça, dever-se-á procurar a solução para esse problema nos apontamentos e exercícios já resolvidos. Neste passo, se mesmo assim não conseguir perceber algo, deverá apontar e tirar essa dúvida ao seu professor ou a um explicador.

3º - No final da tarefa, deve-se sempre “pensar” no resultado que foi obtido, e refletir se tem lógica perante o que nos foi pedido.

Preparação para as fichas de avaliação

O método apresentado aqui deve ser utilizado diariamente. Assim, se for seguido num estudo regular, quando chega uma ficha de avaliação, a maior parte do trabalho já estará feito. No entanto, deve ser feito uma preparação mais intensa para o teste para rever todos os temas que serão avaliados. Assim, o estudo deve ser inicialmente dividido por temas.

• Para cada tema:

1º - ler os apontamentos teóricos e ver os exercícios dados como exemplos;

2º - realizar de novo os exercícios realizados e corrigidos no caderno diário. Quando aparece alguma dúvida, deve-se em primeiro tentar descobrir a solução nos apontamentos, e apenas depois, comparar com o exercício corrigido;

3º - realizar novos exercícios, cada vez mais com um grau de dificuldade alta (aqui deve-se aplicar o método dos 3 passos);

No final do estudo de todos os temas, há lugar à resolução de exercícios e problemas que aglutinem todos esses assuntos. Na Matemática, tudo está interligado!

O que é a trigonometria?

Trigonometria (do grego trigōnon "triângulo" + metron "medida") é um ramo da matemática que estuda as relações entre os comprimentos de 2 lados de um triângulo rectângulo (triângulo onde um dos ângulos mede 90 graus), para diferentes valores de um dos seus ângulos agudos. A abordagem da trigonometria penetra outros campos da geometria, como o estudo de esferas usando a trigonometria esférica.

A trigonometria tem aplicações importantes em vários ramos, tanto como na matemática pura, quanto na matemática aplicada e, consequentemente, nas ciências naturais. A trigonometria é comummente ensinada no Ensino Médio.

Dois triângulos são ditos semelhantes se um pode ser obtido pela expansão uniforme do outro. Este é o caso se, e somente se, seus ângulos correspondentes são iguais. O fato crucial sobre triângulos semelhantes é que os comprimentos de seus lados são proporcionais. Isto é, se o maior lado de um triângulo é duas vezes maior que o lado do triângulo similar, então o menor lado será também duas vezes maior que o menor lado do outro triângulo, e o comprimento do lado médio será duas vezes o valor do lado correspondente do outro triângulo. Assim, a razão do maior lado e menor lado do primeiro triângulo será a mesma razão do maior lado e o menor lado do outro triângulo.

Usando estes fatos, definem-se as funções trigonométricas, começando pelos triângulos rectângulos (triângulos com um ângulo recto 90 graus ou π/2 radianos). O maior lado em um triângulo qualquer é sempre o lado oposto ao maior ângulo e devido a soma dos ângulos de um triângulo ser 180 graus ou π radianos, o maior ângulo em um triângulo rectângulo é o ângulo recto. O maior lado nesse triângulo, consequentemente, é o lado oposto ao ângulo recto, chamado de hipotenusa e os demais lados são chamados de catetos.

Dois triângulos rectângulos que compartilham um segundo ângulo  são necessariamente similares, e a proporção (ou razão) entre o comprimento do lado oposto a e o comprimento da hipotenusa será, portanto, a mesma nos dois triângulos. Este valor será um número entre 0 e 1 que depende apenas de  Este número é chamado de seno de A e é escrito como  Similarmente, pode-se definir :

• o cosseno (ou co-seno) de  é a proporção do comprimento do cateto adjacente ao ângulo  em relação ao comprimento da hipotenusa
• a tangente trigonométrica de  é a proporção do comprimento do cateto oposto ao ângulo  em relação ao comprimento do cateto adjacente
• a co-tangente de  é a proporção do comprimento do cateto adjacente ao ângulo  em relação ao comprimento do cateto oposto - é o inverso da tangente
• a secante trigonométrica de  é a proporção do comprimento da hipotenusa em relação ao comprimento do cateto adjacente ao ângulo  - é o inverso do cosseno
• a co-secante de  é a proporção do comprimento da hipotenusa em relação ao comprimento do cateto oposto ao ângulo  - é o inverso do seno.

O círculo unitário, círculo trigonométrico é um círculo cujo centro está localizado na origem do plano cartesiano e seu raio mede 1. É usado no estudo de funções trigonométricas como seno, cosseno e tangente. A partir do círculo unitário é possível deduzir várias identidades trigonométricas.

Nota:

Ramo da matemática que trata das relações entre os lados e ângulos de triângulos (polígonos com três lados). A trigonometria plana lida com figuras geométricas pertencentes a um único plano, e a trigonometria esférica trata dos triângulos que são uma secção da superfície de uma esfera.

A trigonometria começa como uma matemática eminentemente prática para determinar distâncias que não podiam ser medidas directamente. Serve à navegação, à agrimensura e à astronomia. Ao lidar com a determinação de pontos e distâncias em três dimensões, a trigonometria esférica amplia sua aplicação à física, à química e a quase todos os ramos da engenharia, em especial no estudo de fenómenos periódicos, como a vibração do som e o fluxo de corrente alternada.

A trigonometria começa com as civilizações babilônica e egípcia e desenvolve-se na Antiguidade graças aos gregos e indianos. A partir do século VIII, astrônomos  islâmicos aperfeiçoam as descobertas gregas e indianas, notadamente em relação às funções trigonométricas. A trigonometria moderna tem início com o trabalho de matemáticos no Ocidente a partir do século XV. A invenção dos logaritmos pelo escocês John Napier e do cálculo diferencial e integral por Isaac Newton auxilia os cálculos trigonométricos.

Para treinar a subtracção....

Para treinar a somas...

Para treinar a multiplicação....

Frase do dia....

"Sempre me pareceu estranho que todos aqueles que estudam seriamente esta ciência acabam tomados de uma espécie de paixão pela mesma. Em verdade, o que proporciona o máximo de prazer não é o conhecimento e sim a aprendizagem, não é a posse mas a aquisição, não é a presença mas o acto de atingir a meta."

                                                                                         Carl Friedrich Gauss

Sabiam que a lua....

A Lua é um símbolo feminino associado à fecundidade, à fragilidade, à ilusão e à pureza venerada como divindade entre antigas civilizações. Por mudar sua forma de aparecer no céu, ou seja, por atravessar fases, na simbologia, a Lua é também símbolo de inconstância…Por estranho que pareça podemos saber o sexo do primeiro filho como também dos seguintes, é simples basta saber em que lua estava no dia do nascimento da mãe. Se a Lua nova ocorreu antes de transcorridos nove dias após o nascimento da mãe, a criança será do sexo feminino, isto é, caso a Lua nova tivesse aparecido até o seu nono dia de vida, seu primeiro bebé seria menina. Se a Lua nova apareceu depois de passados nove dias a contar do nascimento da mãe, a criança será do sexo masculino, isto é, se a Lua nova só aparecesse na vida da mãe do nono dia em diante, o seu primogénito seria um menino. Para se saber do segundo filho, examina-se a data de nascimento da criança anterior, sendo necessário contar também os abortos.

Se a Lua nova surgiu a menos de nove dias após o seu nascimento, o novo bebé terá sexo diferente do desse irmão. Se a Lua nova apareceu mais de nove dias após seu nascimento, o novo bebé será do mesmo sexo que o irmão precedente.      

Funções de 1º grau...

Função de 1º grau

Zero e Equação do 1º Grau:

   Chama-se zero ou raiz da função polinomial do 1º grau f(x) = ax + b, a0, o número real x tal que  f(x) = 0.

   Temos:

   f(x) = 0        ax + b = 0        

   Vejamos alguns exemplos:

1. Obtenção do zero da função f(x) = 2x - 5:
                                       f(x) = 0        2x - 5 = 0        
2. Cálculo da raiz da função g(x) = 3x + 6:
                                       g(x) = 0        3x + 6 = 0        x = -2
      
3. Cálculo da abcissa do ponto em que o gráfico de h(x) = -2x + 10 corta o eixo das abcissas:
   O ponto em que o gráfico corta o eixo dos x é aquele em que h(x) = 0; então:
       h(x) = 0        -2x + 10 = 0        x = 5

Crescimento e decrescimento:

   Consideremos a função do 1º grau y = 3x - 1. Vamos atribuir valores cada vez maiores a x e observar o que ocorre com y:

x -3 -2 -1 0 1 2 3 y -10 -7 -4 -1 2 5 8       Notemos que, quando aumentos o valor de x, os correspondentes     valores de y também aumentam. Dizemos, então que a      função y = 3x - 1 é crescente.    Observamos novamente seu gráfico:

Regra geral:

a função do 1º grau f(x) = ax + b é crescente quando o coeficiente de x é positivo (a > 0);
a função do 1º grau f(x) = ax + b é decrescente quando o coeficiente de x é negativo (a < 0);

Justificativa:

• para a > 0: se x₁ < x₂, então ax₁ < ax₂. Daí, ax₁ + b < ax₂ + b, de onde vem f(x₁) < f(x₂).
• para a < 0: se x₁ < x₂, então ax₁ > ax₂. Daí, ax₁ + b > ax₂ + b, de onde vem f(x₁) > f(x₂).

Sinal

   Estudar o sinal de uma qualquer y = f(x) é determinar os valor de x para os quais y é positivo, os valores de x para os quais y é zero e os valores de x para os quais y é negativo.
    Consideremos  uma função afim y = f(x) = ax + b vamos estudar seu sinal. Já vimos que essa função se anula pra raiz . Há dois casos possíveis:

  1º) a > 0 (a função é crescente)

         y > 0       ax + b > 0         x > 

         y < 0      ax + b < 0         x < 

    Conclusão: y é positivo para valores de x maiores que a raiz; y é negativo para valores de x menores que a raiz

2º) a < 0 (a função é decrescente)

          y > 0   ax + b > 0            x < 

         y < 0   ax + b < 0        x > 

Conclusão: y é positivo para valores de x menores que a raiz; y é  negativo para valores de x maiores que a raiz.

Funções:

 Função de 1º grau

  Definição

 Chama-se função polinomial do 1º grau, ou função afim, a qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax + b, onde a e b são números reais dados e a0.

 Na função f(x) = ax + b, o número a é chamado de coeficiente de x e o número b é chamado termo constante.

 Veja alguns exemplos de funções polinomiais do 1º grau:

 f(x) = 5x - 3, onde a = 5 e b = - 3
 f(x) = -2x - 7, onde a = -2 e b = - 7
 f(x) = 11x, onde a = 11 e b = 0

Gráfico

    O gráfico de uma função polinomial do 1º grau,  y = ax + b, com a0, é uma recta oblíqua aos eixos Ox e Oy.

    Exemplo:

    Vamos construir o gráfico da função y = 3x - 1:
    Como o gráfico é uma recta, basta obter dois de seus pontos e ligá-los com o auxílio de uma régua:

    a)    Para   x = 0, temos   y = 3 · 0 - 1 = -1; portanto, um ponto é (0, -1).
    b)    Para   y = 0, temos   0 = 3x - 1; portanto,  e outro ponto é .

    Marcamos os pontos (0, -1) e  no plano cartesiano e ligamos os dois com uma recta.

x y 0 -1 0

    Já vimos que o gráfico da função afim y = ax + b é uma recta.
    O coeficiente de x, a, é chamado coeficiente angular da recta e, como veremos adiante, a está ligado à inclinação da recta em relação ao eixo Ox.

    O termo constante, b, é chamado coeficiente linear da recta. Para x = 0, temos y = a · 0 + b = b. Assim, o coeficiente linear é a ordenada do ponto em que a recta corta o eixo Oy.