Sobre a divisibilidade
Nalgumas situações apenas precisamos saber se um número natural é divisível por outro número natural, sem a necessidade de saber o resultado da divisão. Neste caso utilizamos as regras conhecidas como critérios de divisibilidade. Apresentamos as regras de divisibilidade por 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31 e 49.
Verificador de divisão exata
O script seguinte permite saber se um número inteiro M é divisível por um outro inteiro N.
Alguns critérios de divisibilidade
Divisibilidade por 2
- Um número será divisível por 2 quando for par, ou seja, terminar em 0, 2, 4, 6 ou 8.Exemplo: O número 5634 é divisível por 2, pois o seu último algarismo é 4.
Exemplo: 135 não é divisível por 2, pois é um número terminado com o algarismo 5 que não é par.
Divisibilidade por 3
- Um número será divisível por 3 se a soma de seus algarismos for divisível por 3.Exemplo: 18 é divisível por 3 pois 1+8=9 que é divisível por 3.
Exemplo: 576 é divisível por 3 pois: 5+7+6=18 que é divisível por 3.
Exemplo: 134 não é divisível por 3, pois: 1+3+4=8 que não é divisível por 3.
Divisibilidade por 4
- Um número será divisível por 4 quando o número formado pelos seus dois últimos algarismos for divisível por 4.Exemplo: 4312 é divisível por 4, pois 12 é divisível por 4.
Exemplo: 1635 não é divisível por 4 pois 35 não é divisível por 4.
Divisibilidade por 5
- Um número será divisível por 5 se o seu último algarismo for 0 (zero) ou 5.Exemplo: 75 é divisível por 5 pois termina com o algarismo 5.
Exemplo: 107 não é divisível por 5 pois o seu último algarismo não é 0 (zero) nem 5.
Divisibilidade por 6
- Um número é divisível por 6 quando for par e a soma de seus algarismos for divisível por 3.Exemplo: 756 é divisível por 6, pois 756 é par e a soma de seus algarismos: 7+5+6=18 é divisível por 3.
Exemplo: 527 não é divisível por 6, pois não é par
Exemplo: 872 é par mas não é divisível por 6 pois a soma de seus algarismos: 8+7+2=17 não é divisível por 3.
Divisibilidade por 7
- Um número é divisível por 7 quando o dobro do último algarismo, subtraído do número que não contém este último algarismo, proporcionar um número divisível por 7. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 7.Exemplo: 165928 é divisível por 7 pois:
Repete-se o processo com este último número.16592 Número sem o último algarismo - 16 Dobro do último algarismo 16576 Diferença
Repete-se o processo com este último número.1657 Diferença sem o último algarismo - 12 Dobro do último algarismo da Diferença 1645 Diferença
Repete-se o processo com este último número.164 Diferença sem o último algarismo - 10 Dobro do último algarismo da Diferença 154 Diferença
A diferença é divisível por 7, logo o número dado inicialmente também é divisível por 7.15 Diferença sem o último algarismo - 8 Dobro do último algarismo da Diferença 7 Diferença
Exemplo: 4261 não é divisível por 7, pois:
Repete-se o processo com este último número.426 Número sem o último algarismo - 2 Dobro do último algarismo 424 Diferença
A última diferença é 34 que não é divisível por 7, logo o número 4261 dado inicialmente não é divisível por 7.42 Número sem o último algarismo - 8 Dobro do último algarismo 34 Diferença
Divisibilidade por 8
- Um número é divisível por 8 quando o número formado pelos três últimos algarismos do número dado é divisível por 8.Exemplo: 45128 é divisível por 8 pois 128 é divisível por 8.128 ÷ 8 = 16Exemplo: 45321 não é divisível por 8 pois 321 não é divisível por 8.
Divisibilidade por 9
- Um número é divisível por 9 quando a soma de seus algarismos forma um número divisível por 9.Exemplo: 1935 é divisível por 9 pois: 1+9+3+5=18 que é divisível por 9.
Exemplo: 5381 não é divisível por 9 pois: 5+3+8+1=17 que não é divisível por 9.
Divisibilidade por 10
- Um número é divisível por 10 quando terminar com o algarismo 0 (zero).Exemplo: 5420 é divisível por 10 pois termina em 0 (zero).
Exemplo: 6342 não termina em 0 (zero).
Divisibilidade por 11
- Um número é divisível por 11 quando a soma dos algarismos de ordem par Sp menos a soma dos algarismos de ordem ímpar Si for um número divisível por 11. Com um caso particular, se Sp-Si=0ou se Si-Sp=0 então o número é divisível por 11.Exemplo: 1353 é divisível por 11, pois:
O primeiro e o terceiro algarismos têm ordem impar e a sua soma é: Si=1+5=6, o segundo e o quarto algarismos têm ordem par e a sua soma é: Sp=3+3=6, assim a soma dos algarismos de ordem par Sp é igual à soma dos algarismos de ordem ímpar Si, logo o número é divisível por 11.Número 1 3 5 3 Ordem ímpar par ímpar par
Exemplo: 29458 é divisível por 11, pois:
A soma dos algarismos de ordem ímpar, Si=2+4+8=14, a soma dos algarismos de ordem par, Sp=9+5=14 e como ambas as somas são iguais, o número 29458 é divisível por 11.Número 2 9 4 5 8 Ordem ímpar par ímpar par ímpar
Exemplo: 2543 não é divisível por 11, pois:
A soma dos algarismos de ordem impar é Si=2+4=6, a soma dos algarismos e ordem par é Sp=5+3=8, e como as somas Si e Sp são diferentes o número 2543 não é divisível por 11Número 2 5 4 3 Ordem ímpar par ímpar par
Exemplo: 65208 é divisível por 11, pois:
A soma dos algarismos de ordem impar é Si=6+2+8=16, a soma dos algarismos de ordem par é Sp=5+0=5, e, como a diferença entre as somas Si e Sp é 11, o número 65208 é divisível por 11Número 6 5 2 0 8 Ordem ímpar par ímpar par ímpar
Divisibilidade por 13
- Um número é divisível por 13 quando o quádruplo (4 vezes) do último algarismo, somado ao número que não contém este último algarismo, proporcionar um número divisível por 13. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 13. Este critério é semelhante àquele dado antes para a divisibilidade por 7, apenas que no presente caso utilizamos a soma ao invés de subtração.Exemplo: 16562 é divisível por 13? Vamos verificar.
Repete-se o processo com este último número.1656 Número sem o último algarismo +8 Quádruplo do último algarismo 1664 Soma
Repete-se o processo com este último número.166 Soma sem o último algarismo +16 Quádruplo do último algarismo da Soma 182 Soma
Como a última soma é divisível por 13, então o número dado inicialmente também é divisível por 13.18 Soma sem o último algarismo +8 Quádruplo do último algarismo da Soma 26 Soma
Divisibilidade por 17
- Um número é divisível por 17 quando o quíntuplo (5 vezes) do último algarismo, subtraído do número que não contém este último algarismo, proporcionar um número divisível por 17. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 17.Exemplo: 18598 é divisível por 17 pois:
Repete-se o processo com este último número.1859 Número sem o último algarismo -40 Quíntuplo do último algarismo 1819 Diferença
Repete-se o processo com este último número.181 Diferença sem o último algarismo -45 Quíntuplo do último algarismo da Diferença 136 Diferença
A diferença, embora negativa, é divisível por 17, logo o número dado inicialmente também é divisível por 17.13 Diferença sem o último algarismo -30 Quíntuplo do último algarismo da Diferença -17 Diferença
Divisibilidade por 19
- Um número é divisível por 19 quando o dobro do último algarismo, somado ao número que não contém este último algarismo, proporcionar um número divisível por 19. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 19.Exemplo: 165928 é divisível por 19? Vamos verificar.
Repete-se o processo com este último número.16592 Número sem o último algarismo + 16 Dobro do último algarismo 16608 Soma
Repete-se o processo com este último número.1660 Soma sem o último algarismo + 16 Dobro do último algarismo da Soma 1676 Soma
Repete-se o processo com este último número.167 Soma sem o último algarismo +12 Dobro do último algarismo da Soma 179 Soma
Como a última soma não é divisível por 19, então o número dado inicialmente também não é divisível por 19.17 Soma sem o último algarismo +18 Dobro do último algarismo da Soma 35 Soma
Exemplo: 4275 é divisível por 19, pois:
Repete-se o processo com este último número.427 Número sem o último algarismo +10 Dobro do último algarismo 437 Soma
Repete-se o processo com este último número.43 Número sem o último algarismo +14 Dobro do último algarismo 57 Soma
Como a última Soma é o próprio 19, segue que é divisível por 19, então o número 4275 dado inicialmente é divisível por 19.5 Número sem o último algarismo +14 Dobro do último algarismo 19 Soma
Divisibilidade por 23
- Um número é divisível por 23 quando o héptuplo (7 vezes) do último algarismo, somado ao número que não contém este último algarismo, proporcionar um número divisível por 23. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 23.Exemplo: 185909 é divisível por 23? Vamos verificar.
Repete-se o processo com este último número.18590 Número sem o último algarismo +63 Héptuplo do último algarismo 18653 Soma
Repete-se o processo com este último número.1865 Soma sem o último algarismo +21 Héptuplo do último algarismo da Soma 1886 Soma
Como a última soma é divisível por 23, então o número dado inicialmente também é divisível por 23.188 Soma sem o último algarismo +42 Héptuplo do último algarismo da Soma 230 Soma
Divisibilidade por 29
- Um número é divisível por 29 quando o triplo (3 vezes) do último algarismo, subtraído do número que não contém este último algarismo, proporcionar um número divisível por 29. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 29.Exemplo: 8598 é divisível por 29?
Repete-se o processo com este último número.859 Número sem o último algarismo -24 Triplo do último algarismo 835 Diferença
Repete-se o processo com este último número.83 Diferença sem o último algarismo -15 Triplo do último algarismo da Diferença 68 Diferença
A diferença, embora negativa, não é divisível por 29, logo o número dado inicialmente também não é divisível por 29.6 Diferença sem o último algarismo -24 Triplo do último algarismo da Diferença -18 Diferença
Divisibilidade por 31
- Um número é divisível por 31 quando o triplo (3 vezes) do último algarismo, somado ao número que não contém este último algarismo, proporcionar um número divisível por 31. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 31.Exemplo: 8598 é divisível por 31?
Repete-se o processo com este último número.859 Número sem o último algarismo +24 Triplo do último algarismo 883 Soma
Repete-se o processo com este último número.88 Soma sem o último algarismo +9 Triplo do último algarismo da Soma 97 Soma
A soma não é divisível por 31, logo o número dado inicialmente também não é divisível por 31.9 Soma sem o último algarismo +21 Triplo do último algarismo da Soma 30 Soma
Divisibilidade por 49
- Um número é divisível por 49 quando o quíntuplo (5 vezes) do último algarismo, somado ao número que não contém este último algarismo, proporcionar um número divisível por 49. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 49.Exemplo: 8598 é divisível por 49?
Repete-se o processo com este último número.859 Número sem o último algarismo +40 Quíntuplo do último algarismo 899 Soma
Repete-se o processo com este último número.89 Soma sem o último algarismo +45 Quíntuplo do último algarismo da Soma 134 Soma
A soma não é divisível por 49, logo o número dado inicialmente também não é divisível por 49.13 Soma sem o último algarismo +20 Quíntuplo do último algarismo da Soma 33 Soma
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