Máximo Divisor Comum

Máximo – significa maior.

Divisor – que divide exactamente, isto é, deixa resto zero na divisão.

Comum – simultaneamente, ao mesmo tempo.

Portanto, o maior número que divide dois ou mais números naturais simultaneamente é chamado de máximo divisor comum, o mdc.

Exemplo 1: qual o mdc entre 8 e 12?

Divisores de 8 = { 1, 2, 4 e 8 }.

Divisores de 12 = { 1, 2, 3, 4, 6, 12 }.

Divisores comuns a 8 e 12 = 1, 2 e 4.

Maior divisor dos comum = é 4. Portanto, o mdc (8, 12) = 4.

Para 8 e 12 foi muito fácil encontrar os divisores de cada um! 

Imagine se fossem números maiores, por exemplo, 96 , 108 e 132?

Muito tempo seria necessário para determinar os divisores de cada um e sem falar que poderíamos esquecer algum. Por isso, vamos agora aprender o primeiro método para determinar o mdc.

Primeiro Processo Prático para Determinação do MDC

Por decomposição em factores primos

Regra: decompõe-se os números em factores primos, em seguida, multiplicam-se os factores primos comuns cada um deles elevados ao menor de seus expoentes.

Exemplo 2: determine o mdc de 96, 108 e 132?

Resolução: vamos decompor os números acima em factores primos.

Caso não sabe ou não se lembra como se decompõe um número em factores primos

Temos então o seguinte:

96 = 2⁵.3

108 = 2².3³

132 = 2².3.11

Os factores primos comuns são: 2 e 3.

Dos factores primos comuns os de menores expoentes são: 2² e 3.

Portanto, o mdc (96,108,132) = 2².3 = 4.3 = 12.

Observe que temos dois factores 3 e dois factores 2², para o cálculo do mdc, basta considerar somente um de cada e o factor 11 não é comum a 96 e 108, logo não será considerando para o cálculo.

Bem, antes de prosseguir vamos ver mais um exemplo, certo? Ok!

Exemplo 3: determine o mdc entre 120 e 300.

Resolução: decompondo em factores primos os números acima.

120 = 2³.3.5

300 = 2².3.5²

Os factores primos comuns são: 2, 3 e 5. 

Dos factores primos comuns os de menores expoentes são: 2², 3 e 5.

Logo, o mdc (120, 300) = 2².3.5 = 4.3.5 = 60.

Agora, baseando-se nos dois exemplos acima, resolva as questões abaixo. 

1. Qual o mdc (32, 48)?

A) 12

B) 16

C) 18

D) 32

2. Qual o mdc (28, 70, 84)?

A) 18

B) 16

C) 14

D) 7

3. Determine o mdc de X, Y e Z, sendo

X = 2⁵ x 5² x 7          Y = 2 x 3⁴ x 5³ x 7²                 Z = 2³ x 3² x 5⁴ x 7

A) 350

B) 3704

C) 3500

D) 5334

Conclusão

Aprendemos a determinar o maior divisor comum entre dois ou mais naturais pelo método da decomposição em factores primos. Aprendemos também o conceito de divisor de um número natural.

O mdc tem grande utilidade na prática, sendo que é a base para outros ramos da Matemática, geralmente em concursos públicos, as questões que envolvem mdc são voltadas para a aplicabilidade.

Segundo Processo Prático para Determinação do MDC

Por divisões sucessivas ou algoritmo de Euclides

Regra: divide-se o número maior pelo menor. Se a divisão for exacta, o mdc será o menor deles. Se a divisão não for exacta, divide-se o menor pelo resto e assim sucessivamente, até encontrar uma divisão exacta (resto zero). O último divisor será o mdc.

Exemplo 1: determine o mdc (81, 27).

Observe acima o algoritmo de Euclides, onde temos os divisores, quocientes e restos. Neste caso ao dividirmos o maior (81) pelo menor (27) encontramos resto 0 (zero), portanto de acordo com a regra, o mdc(81,27) = 27.

Este caso é óbvio, não! É possível verificar logo de “primeira” que 81 é divisível por 27!

Vamos ver outro exemplo!

Exemplo 2: determine o mdc (120,300).

Procedendo conforme o algoritmo de Euclides.

Observe, 300 dividido por 120 “dá” 2 no quociente e 2 “vezes” 120 é igual a 240, 240 “para” 300 “faltam” 60. Isto é, 300 dividido por 120, temos quociente 2 e resto 60. Agora, o novo divisor é o resto anterior, ou seja, 60.

Prosseguindo, 120 dividido por 60, “dá” quociente 2 e resto 0. Pronto, encontramos resto 0 (zero), logo o mdc (120,300) = 60.

Mais um exemplo, para aprender de uma vez por todas! 

Exemplo 3: determine o mdc (200, 144).

Este exemplo foi um pouco mais longo! Temos que o mdc (200, 144) = 8.

Percebeu como é simples determinar o mdc por este método? Lembre-se sempre, o último divisor é o mdc entre os números! Caso ainda tenha alguma dúvida, comente!

Números Primos entre Si

Dados dois ou mais números, caso o mdc entre eles for igual a 1, dizemos que estes números são primos entre si.

Exemplo 4: determinando o mdc entre 20 e 17, verá que o maior divisor comum será 1, não existe outro! Portanto, dizemos que 20 e 17 são números primos entre-si.

Não sabe o que é um número primo.

Agora, utilizando o algoritmo de Euclides, resolva os exercícios abaixo.

1. Determine o mdc (124, 244).

A) 2

B) 4

C) 6

D) 8

2. Determine o mdc (84, 126, 210).

Observação: no caso de três números, determinamos o mdc dos dois maiores deles e, em seguida, o mdc desse resultado com o menor.

A) 20

B) 32

C) 38

D) 42

3. Considere o dispositivo de divisões sucessivas:

O valor de x é:

A) 12

B) 36

C) 48

D) 60

Conclusão

Com os exemplos acima e com estes exercícios, acreditamos que é possível fixar a teoria e saber o caminho a seguir. Terminamos assim a nossa segunda aula sobre mdc. Observe que aprendemos dois métodos, o da decomposição em factores primos e divisões sucessivas.

Ambos os métodos são necessários para realizar boas provas de concursos. Muitos estudantes me perguntam qual o melhor método, o melhor método é aquele que você se sente mais confortável em fazer.

Mas, é necessário compreender os dois, pois algumas questões só serão resolvidas com a aplicação de um único método, como exemplo, o exercício 3 desta aula. Em outros casos a aplicação de um determinado método pode tornar a resolução “mais rápida”.

Lembre-se também que quando o mdc entre dois ou mais números for igual a 1, estes números são chamados de primos entre si. Uma outra observação é o facto de que no cálculo do mdc, dado dois ou mais números, em que os maiores são divisíveis pelo menor, o mdc é o menor deles, veja o exemplo 1 desta aula.