Multiplicação de matrizes

Multiplicando matrizes

Matrizes são tabelas que respeitam uma ordem de formação, possuem respectivamente linhas e colunas. Esse tipo especial de tabela possui propriedades e definições. Entre as propriedades mais importantes está a multiplicação de matrizes. Antes de multiplicarmos duas matrizes devemos verificar se o número de colunas da primeira matriz é igual ao número de linhas da segunda, sendo registada igualdade podemos realizar a operação.
A multiplicação consiste em uma regra prática geral, observe passo a passo como deve ser feita a multiplicação.
Devemos sempre multiplicar na seguinte ordem: linha x coluna.

Observe o exemplo:

Exemplo 1

Observe que a multiplicação somente foi efectuada porque o número de coluna da 1ª matriz é igual ao número de linhas da 2ª. Outra característica importante que deve ser analisada é que a matriz produto possui o mesmo número de linhas da 1ª e o mesmo número de colunas da 2ª.


Exemplo 2

Em uma confecção são produzidos três modelos de calças: A, B e C. Sendo usado dois tipos de botões G (grande) e M (médio). O número de botões usado por modelo de calça é dado pela seguinte tabela:

O número de calças produzidas nos meses de novembro e dezembro é fornecido pela tabela a seguir:

De acordo com os dados fornecidos, calcule a quantidade de botões gastos nos meses referidos.


O cálculo da quantidade de botões pode ser efectuado multiplicando as duas tabelas, pois elas constituem uma multiplicação entre matrizes.

Mínimo múltiplo comum

Para entendemos o que é mínimo múltiplo comum, temos que saber achar os múltiplos de um número.

Por exemplo, quais são os múltiplos de 2?
São todos os números que resultam da multiplicação de um número natural por 2. Veja:

2 x 1 = 2 → 2 é múltiplo de 2.
2 x 5 = 10 → 10 é múltiplo de 2.
2 x 12 = 24 → 24 é múltiplo de 2.
2 x 30 = 60 → 60 é múltiplo de 2
       ↓
      Nº
  Natural

E quando é dado um número como iremos fazer para saber se esse número será múltiplo de 2,3,4,5,6, e assim por diante?
Basta fazer a operação inversa à multiplicação: divisão. Veja:

• 1232 será múltiplo de 2?
Neste caso podemos usar a operação de divisão pra descobrir ou usar a regra seguinte:
Todo número múltiplo de 2 tem que terminar em número par. Então 1232 termina em par, ele será múltiplo de 2.

• 1232 será múltiplo de 3?
Como no múltiplo de 2 podemos utilizar a operação da divisão pra descobrir ou usar a seguinte regra:todo número múltiplo de 3, a soma de seus algarismos resulta em um número múltiplo de 3.
Se somarmos os algarismos do número 1232 teremos 1+2+3+2 = 8. 8 não é múltiplo de 3, então 1232 também não vai ser.

• 1232 é múltiplo de 5?
Para descobrir se um número é múltiplo de 5 além de usar a operação da divisão, também podemos utilizar uma regra: todo número múltiplo de 5 termina em 0 ou 5. Então 1232 termina em 2, assim não é múltiplo de 5.

Para descobrir se 1232 é múltiplo de outros números devermos utilizar a divisão se essa operação der exacta (resto igual a zero) é por que ele será múltiplo.

Agora o que é mmc? Calculamos o mmc de 2 ou mais números. Consistem em achar o menor múltiplo comum (tirando o zero) entre esses números. Por exemplo:

MMC(15, 20) = ?
Devemos em primeiro lugar acharmos os múltiplos de 15 e depois de 20.

M(15) = 15, 30, 45, 60, 75, 90, ...
M(20) = 20, 40, 60, 80, 100, ...

Observando os seus múltiplos vemos que o menor múltiplo comum é o 60, portanto:

MMC(15, 20) = 60.

Existe outro método para acharmos o mmc de números. Ele consiste em dividir os números por números primos, veja como funciona.

Número primo é aquele número que é divisível apenas por um e por ele mesmo. Como 2,3,5,7,11,13,17,19,23, e assim por diante. É interessante ressaltar que o único número par primo é o 2, os outro são todos ímpares.

Para calcularmos o mmc(15,20) utilizando esse método ficará assim:



Dividimos o 15 e 20 apenas por números primos em seqüência. Pegamos os números primos 2, 2,3 ,5 é multiplicamos: 2 x 2 x 3 x 5 = 60 então o mmc(15,20) = 60.

Máximo Divisor Comum

Máximo – significa maior.

Divisor – que divide exactamente, isto é, deixa resto zero na divisão.

Comum – simultaneamente, ao mesmo tempo.

Portanto, o maior número que divide dois ou mais números naturais simultaneamente é chamado de máximo divisor comum, o mdc.

Exemplo 1: qual o mdc entre 8 e 12?

Divisores de 8 = { 1, 2, 4 e 8 }.

Divisores de 12 = { 1, 2, 3, 4, 6, 12 }.

Divisores comuns a 8 e 12 = 1, 2 e 4.

Maior divisor dos comum = é 4. Portanto, o mdc (8, 12) = 4.

Para 8 e 12 foi muito fácil encontrar os divisores de cada um! 

Imagine se fossem números maiores, por exemplo, 96 , 108 e 132?

Muito tempo seria necessário para determinar os divisores de cada um e sem falar que poderíamos esquecer algum. Por isso, vamos agora aprender o primeiro método para determinar o mdc.

Primeiro Processo Prático para Determinação do MDC

Por decomposição em factores primos

Regra: decompõe-se os números em factores primos, em seguida, multiplicam-se os factores primos comuns cada um deles elevados ao menor de seus expoentes.

Exemplo 2: determine o mdc de 96, 108 e 132?

Resolução: vamos decompor os números acima em factores primos.

Caso não sabe ou não se lembra como se decompõe um número em factores primos

Temos então o seguinte:

96 = 2⁵.3

108 = 2².3³

132 = 2².3.11

Os factores primos comuns são: 2 e 3.

Dos factores primos comuns os de menores expoentes são: 2² e 3.

Portanto, o mdc (96,108,132) = 2².3 = 4.3 = 12.

Observe que temos dois factores 3 e dois factores 2², para o cálculo do mdc, basta considerar somente um de cada e o factor 11 não é comum a 96 e 108, logo não será considerando para o cálculo.

Bem, antes de prosseguir vamos ver mais um exemplo, certo? Ok!

Exemplo 3: determine o mdc entre 120 e 300.

Resolução: decompondo em factores primos os números acima.

120 = 2³.3.5

300 = 2².3.5²

Os factores primos comuns são: 2, 3 e 5. 

Dos factores primos comuns os de menores expoentes são: 2², 3 e 5.

Logo, o mdc (120, 300) = 2².3.5 = 4.3.5 = 60.

Agora, baseando-se nos dois exemplos acima, resolva as questões abaixo. 

1. Qual o mdc (32, 48)?

A) 12

B) 16

C) 18

D) 32

2. Qual o mdc (28, 70, 84)?

A) 18

B) 16

C) 14

D) 7

3. Determine o mdc de X, Y e Z, sendo

X = 2⁵ x 5² x 7          Y = 2 x 3⁴ x 5³ x 7²                 Z = 2³ x 3² x 5⁴ x 7

A) 350

B) 3704

C) 3500

D) 5334

Conclusão

Aprendemos a determinar o maior divisor comum entre dois ou mais naturais pelo método da decomposição em factores primos. Aprendemos também o conceito de divisor de um número natural.

O mdc tem grande utilidade na prática, sendo que é a base para outros ramos da Matemática, geralmente em concursos públicos, as questões que envolvem mdc são voltadas para a aplicabilidade.

Segundo Processo Prático para Determinação do MDC

Por divisões sucessivas ou algoritmo de Euclides

Regra: divide-se o número maior pelo menor. Se a divisão for exacta, o mdc será o menor deles. Se a divisão não for exacta, divide-se o menor pelo resto e assim sucessivamente, até encontrar uma divisão exacta (resto zero). O último divisor será o mdc.

Exemplo 1: determine o mdc (81, 27).

Observe acima o algoritmo de Euclides, onde temos os divisores, quocientes e restos. Neste caso ao dividirmos o maior (81) pelo menor (27) encontramos resto 0 (zero), portanto de acordo com a regra, o mdc(81,27) = 27.

Este caso é óbvio, não! É possível verificar logo de “primeira” que 81 é divisível por 27!

Vamos ver outro exemplo!

Exemplo 2: determine o mdc (120,300).

Procedendo conforme o algoritmo de Euclides.

Observe, 300 dividido por 120 “dá” 2 no quociente e 2 “vezes” 120 é igual a 240, 240 “para” 300 “faltam” 60. Isto é, 300 dividido por 120, temos quociente 2 e resto 60. Agora, o novo divisor é o resto anterior, ou seja, 60.

Prosseguindo, 120 dividido por 60, “dá” quociente 2 e resto 0. Pronto, encontramos resto 0 (zero), logo o mdc (120,300) = 60.

Mais um exemplo, para aprender de uma vez por todas! 

Exemplo 3: determine o mdc (200, 144).

Este exemplo foi um pouco mais longo! Temos que o mdc (200, 144) = 8.

Percebeu como é simples determinar o mdc por este método? Lembre-se sempre, o último divisor é o mdc entre os números! Caso ainda tenha alguma dúvida, comente!

Números Primos entre Si

Dados dois ou mais números, caso o mdc entre eles for igual a 1, dizemos que estes números são primos entre si.

Exemplo 4: determinando o mdc entre 20 e 17, verá que o maior divisor comum será 1, não existe outro! Portanto, dizemos que 20 e 17 são números primos entre-si.

Não sabe o que é um número primo.

Agora, utilizando o algoritmo de Euclides, resolva os exercícios abaixo.

1. Determine o mdc (124, 244).

A) 2

B) 4

C) 6

D) 8

2. Determine o mdc (84, 126, 210).

Observação: no caso de três números, determinamos o mdc dos dois maiores deles e, em seguida, o mdc desse resultado com o menor.

A) 20

B) 32

C) 38

D) 42

3. Considere o dispositivo de divisões sucessivas:

O valor de x é:

A) 12

B) 36

C) 48

D) 60

Conclusão

Com os exemplos acima e com estes exercícios, acreditamos que é possível fixar a teoria e saber o caminho a seguir. Terminamos assim a nossa segunda aula sobre mdc. Observe que aprendemos dois métodos, o da decomposição em factores primos e divisões sucessivas.

Ambos os métodos são necessários para realizar boas provas de concursos. Muitos estudantes me perguntam qual o melhor método, o melhor método é aquele que você se sente mais confortável em fazer.

Mas, é necessário compreender os dois, pois algumas questões só serão resolvidas com a aplicação de um único método, como exemplo, o exercício 3 desta aula. Em outros casos a aplicação de um determinado método pode tornar a resolução “mais rápida”.

Lembre-se também que quando o mdc entre dois ou mais números for igual a 1, estes números são chamados de primos entre si. Uma outra observação é o facto de que no cálculo do mdc, dado dois ou mais números, em que os maiores são divisíveis pelo menor, o mdc é o menor deles, veja o exemplo 1 desta aula.

Cálculo da área de Sectores Circulares

O cálculo da área de um sector circular pode ser realizado calculando-se a área total do círculo e depois se montando uma regra de três, onde a área total do círculo estará para 360°, assim como a área do sector estará para o número de graus do sector.

Sendo S a área total do círculo, S_α a área do sector circular e α o seu número de graus, temos:

Em radianos temos:

A partir destas sentenças podemos chegar a esta fórmula em graus:

E a esta outra em radianos:

Onde r representa o raio do círculo referente ao setor e α é o ângulo também referente ao setor.

Exemplos

Qual é a área de um setor circular com ângulo de 30° e raio de 12 cm?

Aplicando a fórmula em graus temos:

A área do setor circular é de 37,6992 cm².

Qual é a superfície de um setor circular com ângulo de 0,5 rad e raio de 8 mm?

Aplicando a fórmula em radianos temos:

A superfície do setor circular é de 16 mm².

Cálculo da Área de Coroas Circulares

O cálculo da área de uma coroa circular pode ser realizado calculando-se a área total do círculo e subtraindo-se desta, a área do círculo inscrito. Podemos também utilizar a seguinte fórmula:

Onde R representa o raio do círculo e r representa o raio do círculo inscrito.

Exemplos

Qual é a área de uma coroa circular com raio de 20 cm e largura de 5 cm?

Se a largura é de 5 cm, significa que r = 20 - 5 = 15, substituindo na fórmula temos:

A área da coroa circular é de 549,78 cm².

Qual é a superfície de uma coroa circular com r = 17 e R = 34?

Aplicando a fórmula em temos:

A superfície desta coroa circular é 2723,7672.

Cálculo da área do Círculo

A divisão do perímetro de uma circunferência, pelo seu diâmetro resultará sempre no mesmo valor, qualquer que seja circunferência. Este valor irracional constante é representado pela letra grega minúscula pi, grafada como:

Por ser um número irracional, o número pi possui infinitas casas decimais. Para cálculos corriqueiros, podemos utilizar o valor 3,14159265. Para cálculos com menos precisão, podemos utilizar 3,1416, ou até mesmo 3,14.

O perímetro de uma circunferência é obtido através da fórmula:

O cálculo da área do círculo é realizado segundo a fórmula abaixo:

Onde r representa o raio do círculo.

Exemplos

A lente de uma lupa tem 10 cm de diâmetro. Qual é a área da lente desta lupa?

Como informado no enunciado, o diâmetro da circunferência da lupa é igual a 10 cm, o que nos leva a concluir que o seu raio é igual a 5 cm, que corresponde à metade deste valor:

Substituindo-o na fórmula:

A área da lente da lupa é de 78,54 cm².

Um círculo tem raio de 8,52 mm. Quantos milímetros quadrados ele possui de superfície?

Do enunciado, temos que o valor do raio r é:

Ao substituirmos valor de r na fórmula teremos:

A superfície do círculo é de 228,05 mm².

Cálculo da área do Rectângulo

Por definição o rectângulo é um quadrilátero equiângulo (todo os seus ângulos internos são iguais), cujos lados opostos são iguais.

Se todos os seus quatro lados forem iguais, teremos um tipo especial de rectângulo, chamado de quadrado.

Por ser o rectângulo um paralelogramo, o cálculo da sua área é realizado da mesma forma.

Se denominarmos as medidas dos lados de um rectângulo como na figura ao lado, teremos a seguinte fórmula:

Exemplos

Um terreno mede 5 metros de largura por 25 metros de comprimento. Qual é a área deste terreno?

Atribuindo 5 à variável h e 25 à variável b temos:

Utilizando a fórmula:

A área deste terreno é de 125 m².

A tampa de uma caixa de sapatos tem as dimensões 30 cm por 15 cm. Qual a área desta tampa?

Podemos atribuir 15 à variável h e 30 à variável b:

Ao substituirmos as variáveis na fórmula teremos:

Portanto a área da tampa da caixa de sapatos é de 450 cm².