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quarta-feira, 8 de julho de 2015

Critérios de Divisibilidade


Critérios especiais de divisibilidade por:
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 13 17 19 23 29 31 49
Sobre a divisibilidade
Nalgumas situações apenas precisamos saber se um número natural é divisível por outro número natural, sem a necessidade de saber o resultado da divisão. Neste caso utilizamos as regras conhecidas como critérios de divisibilidade. Apresentamos as regras de divisibilidade por 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31 e 49.
Verificador de divisão exata
O script seguinte permite saber se um número inteiro M é divisível por um outro inteiro N.
Número maiorNúmero menor

Alguns critérios de divisibilidade
Divisibilidade por 2
  • Um número será divisível por 2 quando for par, ou seja, terminar em 0, 2, 4, 6 ou 8.Exemplo: O número 5634 é divisível por 2, pois o seu último algarismo é 4.
    Exemplo: 135 não é divisível por 2, pois é um número terminado com o algarismo 5 que não é par.
Divisibilidade por 3
  • Um número será divisível por 3 se a soma de seus algarismos for divisível por 3.Exemplo: 18 é divisível por 3 pois 1+8=9 que é divisível por 3.
    Exemplo: 576 é divisível por 3 pois: 5+7+6=18 que é divisível por 3.
    Exemplo: 134 não é divisível por 3, pois: 1+3+4=8 que não é divisível por 3.
Divisibilidade por 4
  • Um número será divisível por 4 quando o número formado pelos seus dois últimos algarismos for divisível por 4.Exemplo: 4312 é divisível por 4, pois 12 é divisível por 4.
    Exemplo: 1635 não é divisível por 4 pois 35 não é divisível por 4.
Divisibilidade por 5
  • Um número será divisível por 5 se o seu último algarismo for 0 (zero) ou 5.Exemplo: 75 é divisível por 5 pois termina com o algarismo 5.
    Exemplo: 107 não é divisível por 5 pois o seu último algarismo não é 0 (zero) nem 5.
Divisibilidade por 6
  • Um número é divisível por 6 quando for par e a soma de seus algarismos for divisível por 3.Exemplo: 756 é divisível por 6, pois 756 é par e a soma de seus algarismos: 7+5+6=18 é divisível por 3.
    Exemplo: 527 não é divisível por 6, pois não é par
    Exemplo: 872 é par mas não é divisível por 6 pois a soma de seus algarismos: 8+7+2=17 não é divisível por 3.
Divisibilidade por 7
  • Um número é divisível por 7 quando o dobro do último algarismo, subtraído do número que não contém este último algarismo, proporcionar um número divisível por 7. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 7.Exemplo: 165928 é divisível por 7 pois:
    16592Número sem o último algarismo
    - 16Dobro do último algarismo
    16576Diferença
    Repete-se o processo com este último número.
    1657Diferença sem o último algarismo
    - 12Dobro do último algarismo da Diferença
    1645Diferença
    Repete-se o processo com este último número.
    164Diferença sem o último algarismo
    - 10Dobro do último algarismo da Diferença
    154Diferença
    Repete-se o processo com este último número.
    15Diferença sem o último algarismo
    - 8Dobro do último algarismo da Diferença
    7Diferença
    A diferença é divisível por 7, logo o número dado inicialmente também é divisível por 7.
    Exemplo: 4261 não é divisível por 7, pois:
    426Número sem o último algarismo
    - 2Dobro do último algarismo
    424Diferença
    Repete-se o processo com este último número.
    42Número sem o último algarismo
    - 8Dobro do último algarismo
    34Diferença
    A última diferença é 34 que não é divisível por 7, logo o número 4261 dado inicialmente não é divisível por 7.
Divisibilidade por 8
  • Um número é divisível por 8 quando o número formado pelos três últimos algarismos do número dado é divisível por 8.
    Exemplo: 45128 é divisível por 8 pois 128 é divisível por 8.
    128 ÷ 8 = 16
    Exemplo: 45321 não é divisível por 8 pois 321 não é divisível por 8.
Divisibilidade por 9
  • Um número é divisível por 9 quando a soma de seus algarismos forma um número divisível por 9.Exemplo: 1935 é divisível por 9 pois: 1+9+3+5=18 que é divisível por 9.
    Exemplo: 5381 não é divisível por 9 pois: 5+3+8+1=17 que não é divisível por 9.
Divisibilidade por 10
  • Um número é divisível por 10 quando terminar com o algarismo 0 (zero).Exemplo: 5420 é divisível por 10 pois termina em 0 (zero).
    Exemplo: 6342 não termina em 0 (zero).
Divisibilidade por 11
  • Um número é divisível por 11 quando a soma dos algarismos de ordem par Sp menos a soma dos algarismos de ordem ímpar Si for um número divisível por 11. Com um caso particular, se Sp-Si=0ou se Si-Sp=0 então o número é divisível por 11.Exemplo: 1353 é divisível por 11, pois:
    Número1353
    Ordemímparparímparpar
    O primeiro e o terceiro algarismos têm ordem impar e a sua soma é: Si=1+5=6, o segundo e o quarto algarismos têm ordem par e a sua soma é: Sp=3+3=6, assim a soma dos algarismos de ordem par Sp é igual à soma dos algarismos de ordem ímpar Si, logo o número é divisível por 11.
    Exemplo: 29458 é divisível por 11, pois:
    Número29458
    Ordemímparparímparparímpar
    A soma dos algarismos de ordem ímpar, Si=2+4+8=14, a soma dos algarismos de ordem par, Sp=9+5=14 e como ambas as somas são iguais, o número 29458 é divisível por 11.
    Exemplo: 2543 não é divisível por 11, pois:
    Número2543
    Ordemímparparímparpar
    A soma dos algarismos de ordem impar é Si=2+4=6, a soma dos algarismos e ordem par é Sp=5+3=8, e como as somas Si e Sp são diferentes o número 2543 não é divisível por 11
    Exemplo: 65208 é divisível por 11, pois:
    Número65208
    Ordemímparparímparparímpar
    A soma dos algarismos de ordem impar é Si=6+2+8=16, a soma dos algarismos de ordem par é Sp=5+0=5, e, como a diferença entre as somas Si e Sp é 11, o número 65208 é divisível por 11
Divisibilidade por 13
  • Um número é divisível por 13 quando o quádruplo (4 vezes) do último algarismo, somado ao número que não contém este último algarismo, proporcionar um número divisível por 13. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 13. Este critério é semelhante àquele dado antes para a divisibilidade por 7, apenas que no presente caso utilizamos a soma ao invés de subtração.Exemplo: 16562 é divisível por 13? Vamos verificar.
    1656Número sem o último algarismo
    +8Quádruplo do último algarismo
    1664Soma
    Repete-se o processo com este último número.
    166Soma sem o último algarismo
    +16Quádruplo do último algarismo da Soma
    182Soma
    Repete-se o processo com este último número.
    18Soma sem o último algarismo
    +8Quádruplo do último algarismo da Soma
    26Soma
    Como a última soma é divisível por 13, então o número dado inicialmente também é divisível por 13.
Divisibilidade por 17
  • Um número é divisível por 17 quando o quíntuplo (5 vezes) do último algarismo, subtraído do número que não contém este último algarismo, proporcionar um número divisível por 17. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 17.Exemplo: 18598 é divisível por 17 pois:
    1859Número sem o último algarismo
    -40Quíntuplo do último algarismo
    1819Diferença
    Repete-se o processo com este último número.
    181Diferença sem o último algarismo
    -45Quíntuplo do último algarismo da Diferença
    136Diferença
    Repete-se o processo com este último número.
    13Diferença sem o último algarismo
    -30Quíntuplo do último algarismo da Diferença
    -17Diferença
    A diferença, embora negativa, é divisível por 17, logo o número dado inicialmente também é divisível por 17.
Divisibilidade por 19
  • Um número é divisível por 19 quando o dobro do último algarismo, somado ao número que não contém este último algarismo, proporcionar um número divisível por 19. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 19.Exemplo: 165928 é divisível por 19? Vamos verificar.
    16592Número sem o último algarismo
    + 16Dobro do último algarismo
    16608Soma
    Repete-se o processo com este último número.
    1660Soma sem o último algarismo
    + 16Dobro do último algarismo da Soma
    1676Soma
    Repete-se o processo com este último número.
    167Soma sem o último algarismo
    +12Dobro do último algarismo da Soma
    179Soma
    Repete-se o processo com este último número.
    17Soma sem o último algarismo
    +18Dobro do último algarismo da Soma
    35Soma
    Como a última soma não é divisível por 19, então o número dado inicialmente também não é divisível por 19.
    Exemplo: 4275 é divisível por 19, pois:
    427Número sem o último algarismo
    +10Dobro do último algarismo
    437Soma
    Repete-se o processo com este último número.
    43Número sem o último algarismo
    +14Dobro do último algarismo
    57Soma
    Repete-se o processo com este último número.
    5Número sem o último algarismo
    +14Dobro do último algarismo
    19Soma
    Como a última Soma é o próprio 19, segue que é divisível por 19, então o número 4275 dado inicialmente é divisível por 19.
Divisibilidade por 23
  • Um número é divisível por 23 quando o héptuplo (7 vezes) do último algarismo, somado ao número que não contém este último algarismo, proporcionar um número divisível por 23. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 23.Exemplo: 185909 é divisível por 23? Vamos verificar.
    18590Número sem o último algarismo
    +63Héptuplo do último algarismo
    18653Soma
    Repete-se o processo com este último número.
    1865Soma sem o último algarismo
    +21Héptuplo do último algarismo da Soma
    1886Soma
    Repete-se o processo com este último número.
    188Soma sem o último algarismo
    +42Héptuplo do último algarismo da Soma
    230Soma
    Como a última soma é divisível por 23, então o número dado inicialmente também é divisível por 23.
Divisibilidade por 29
  • Um número é divisível por 29 quando o triplo (3 vezes) do último algarismo, subtraído do número que não contém este último algarismo, proporcionar um número divisível por 29. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 29.Exemplo: 8598 é divisível por 29?
    859Número sem o último algarismo
    -24Triplo do último algarismo
    835Diferença
    Repete-se o processo com este último número.
    83Diferença sem o último algarismo
    -15Triplo do último algarismo da Diferença
    68Diferença
    Repete-se o processo com este último número.
    6Diferença sem o último algarismo
    -24Triplo do último algarismo da Diferença
    -18Diferença
    A diferença, embora negativa, não é divisível por 29, logo o número dado inicialmente também não é divisível por 29.
Divisibilidade por 31
  • Um número é divisível por 31 quando o triplo (3 vezes) do último algarismo, somado ao número que não contém este último algarismo, proporcionar um número divisível por 31. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 31.Exemplo: 8598 é divisível por 31?
    859Número sem o último algarismo
    +24Triplo do último algarismo
    883Soma
    Repete-se o processo com este último número.
    88Soma sem o último algarismo
    +9Triplo do último algarismo da Soma
    97Soma
    Repete-se o processo com este último número.
    9Soma sem o último algarismo
    +21Triplo do último algarismo da Soma
    30Soma
    A soma não é divisível por 31, logo o número dado inicialmente também não é divisível por 31.
Divisibilidade por 49
  • Um número é divisível por 49 quando o quíntuplo (5 vezes) do último algarismo, somado ao número que não contém este último algarismo, proporcionar um número divisível por 49. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 49.Exemplo: 8598 é divisível por 49?
    859Número sem o último algarismo
    +40Quíntuplo do último algarismo
    899Soma
    Repete-se o processo com este último número.
    89Soma sem o último algarismo
    +45Quíntuplo do último algarismo da Soma
    134Soma
    Repete-se o processo com este último número.
    13Soma sem o último algarismo
    +20Quíntuplo do último algarismo da Soma
    33Soma
    A soma não é divisível por 49, logo o número dado inicialmente também não é divisível por 49.
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Números Naturais

2 Os números naturais    
 
  Os egípcios criam os símbolos (?) 
 
  
        Por volta do ano 4.000 a.C., algumas comunidades primitivas aprenderam a usar ferramentas e armas de bronze. Aldeias situadas nas margens de rios transformaram-se em cidades. A vida ia ficando cada vez mais complexa. Novas actividades iam surgindo, graças sobretudo ao desenvolvimento do comércio. 
        Os agricultores passaram a produzir alimentos em quantidades superiores às suas necessidades. Com isso algumas pessoas puderam dedicar-se a outras actividades, tornando-se artesãos, comerciantes, sacerdotes, administradores... 		 

        Como consequência desse desenvolvimento surgiu a escrita. Era o fim da Pré-História e o começo da História.

        Os grandes progressos que marcaram o fim da Pré-História verificaram-se com muita intensidade e rapidez no Egipto. 
        Para fazer os projetos de construção das pirâmides e dos templos, o número concreto não era nada prático.		  
Ele também não ajudava muito na resolução dos difíceis problemas criados pelo desenvolvimento da indústria e do comércio. 

        Como efectuar cálculos rápidos e precisos com pedras, nós ou riscos num osso?
       Foi partindo dessa necessidade imediata que estudiosos do Antigo Egipto passaram a representar a quantidade de objetos de uma colecção através de desenhos – os símbolos.
       A criação dos símbolos foi um passo muito importante para o desenvolvimento da Matemática.
       Na Pré-História, o homem juntava 3 bastões com 5 bastões para obter 8 bastões.
       Hoje sabemos representar esta operação por meio de símbolos.
3 + 5 = 8
       Muitas vezes não sabemos nem que objetos estamos a somar. Mas isso não importa: a operação pode ser feita da mesma maneira. Mas como eram os símbolos que os egípcios criaram para representar os números?
    Contando com os egípcios  
        Há mais ou menos 3.600 anos, o faraó do Egipto tinha um súbdito chamado Aahmesu, cujo nome significa “Filho da Lua”.
        Aahmesu ocupava na sociedade egípcia uma posição muito mais humilde que a do faraó: provavelmente era um escriba. Hoje Aahmesu é mais conhecido do que muitos faraós e reis do Antigo Egipto. Entre os cientistas, ele é chamado de Ahmes. Foi ele quem escreveu o Papiro Ahmes. 
            
     O papiro Ahmes é um antigo manual de Matemática. Contém 80 problemas, todos resolvidos.  
A maioria envolve assuntos do dia-a-dia, como o preço do pão, a armazenagem de grãos de trigo, a alimentação do gado. 
Observando e estudando como eram efetuados os cálculos no Papiro Ahmes, não foi difícil aos cientistas compreenderem o sistema de numeração egípcio. Além disso, a decifração dos hieróglifos – inscrições sagradas das tumbas e monumentos do Egipto – no século XVIII também foi muito útil.
        O sistema de numeração egípcio baseava-se em sete números-chave:
 
1  10  100  1.000  10.000100.000  1.000.000
        Os egípcios usavam símbolos para representar esses números.

        Um traço vertical representava 1 unidade: 
        Um osso de calcanhar invertido representava o número 10: 
        Um laço valia 100 unidades: 
        Uma flor de lótus valia 1.000: 
        Um dedo dobrado valia 10.000: 
        Com um girino os egípcios representavam100.000 unidades: 
        Uma figura ajoelhada, talvez representando um deus, valia 1.000.000:		    
   
 

        Todos os outros números eram escritos combinando os números-chave.
        Na escrita dos números que usamos actualmente, a ordem dos algarismos é muito importante.
        Se tomarmos um número, como por exemplo:
256
e trocarmos os algarismos de lugar, vamos obter outros números completamente diferentes:
265  526  562  625  652  
         Ao escrever os números, os egípcios não se preocupavam com a ordem dos símbolos. Observe no desenho que apesar de a ordem dos símbolos não ser a mesma, os três garotos do Antigo Egito estão escrevendo o mesmo número: 
  45  
      Os papiros da Matemática egípcia  
        Quase tudo o que sabemos sobre a Matemática dos antigos egípcios baseia-se em dois grandes papiros: o Papiro Ahmes e o Papiro de Moscovo.
        O primeiro foi escrito por volta de 1.650 a.C. e tem aproximadamente 5,5 m de comprimento e 32 cm de largura. Foi comprado em 1858 por um antiquário escocês chamado Henry Rhind. Por isso é conhecido também como Papiro de Rhind. Actualmente encontra-se no British Museum, de Londres.
        O Papiro de Moscovo é uma estreita tira de 5,5 m de comprimento por 8 cm de largura, com 25 problemas. Encontra-se actualmente em Moscovo. Não se sabe nada sobre o seu autor.
       A técnica de calcular dos egípcios  
        Com a ajuda deste sistema de numeração, os egípcios conseguiam efectuar todos os cálculos que envolviam números inteiros.
        Para isso, empregavam uma técnica de cálculo muito especial: todas as operações matemáticas eram efectuadas através de uma adição.
        Por exemplo, a multiplicação 13 * 9 indicava que o 9 deveria ser adicionado treze vezes.
 
13 * 9 = 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9
        A tabela abaixo ajuda a compreender como os egípcios concluíam a muliplicação:

   Número de parcelas    Resultado 
19
218
436
872

        Eles buscavam na tabela um total de 13 parcelas; era simplesmente a soma das três colunas destacadas:
 
1 + 4 + 8 = 13
        O resultado da multiplicação 13 * 9 era a soma dos resultados desta três colunas:
 
9 + 36 + 72 = 117
        Os egípcios eram realmente muito habilidosos e criativos nos cálculos com números inteiros.
        Mas, em muitos problemas práticos, eles sentiam necessidade de expressar um pedaço de alguma coisa através de um número.
        E para isso os números inteiros não serviam.
      Descobrindo a fração  
        Por volta do ano 3.000 a.C., um antigo faraó de nome Sesóstris...
“... repartiu o solo do Egito nas margens do rio Nilo entre os seus habitantes. Se o rio levava qualquer parte do lote de um homem, o faraó mandava funcionários examinarem e determinarem por medida a extensão exacta da perda.”
        Estas palavras foram escritas pelo historiador grego Heródoto, há cerca de 2.300 anos.
        O rio Nilo atravessa uma vasta planície.

       Uma vez por ano, na época das cheias, as águas do Nilo sobem muitos metros acima do seu leito normal, inundando uma vasta região ao longo das suas margens. Quando as águas baixam, deixam descoberta uma estreita faixa de terras férteis, prontas para o cultivo. 
 
         Desde a Antiguidade, as águas do Nilo fertilizam os campos, beneficiando a agricultura do Egipto. Foi nas terras férteis do vale deste rio que se desenvolveu a civilização egípcia. 
        Cada metro de terra era precioso e tinha de ser muito bem cuidado. 
        Sesóstris repartiu estas preciosas terras entre uns poucos agricultores privilegiados.
        Todos os anos, durante o mês de Junho, o nível das águas do Nilo começava a subir. Era o início da inundação, que durava até Setembro.
       Ao avançar sobre as margens, o rio derrubava as cercas de pedra que cada agricultor usava par marcar os limites do terreno de cada agricultor.
       Usavam cordas para fazer a medição.
       Havia uma unidade de medida assinalada na própria corda. As pessoas encarregadas de medir esticavam a corda e verificavam quantas vezes aquela unidade de medida estava contida nos lados do terreno. Daí, serem conhecidas como estiradores de cordas.
        No entanto, por mais adequada que fosse a unidade de medida escolhida, dificilmente cabia um número inteiro de vezes no lados do terreno.
         Foi por essa razão que os egípcios criaram um novo tipo de número: o número fracionário.
         Para representar os números fraccionários, usavam fracções.
     
As complicadas fracções egípcias  
        Os egípcios interpretavam a fracção somente como uma parte da unidade. Por isso, utilizavam apenas as fracções unitárias, isto é, com numerador igual a 1.
        Para escrever as fracções unitárias, colocavam um sinal oval alongado sobre o denominador.
        As outras fracções eram expressas através de uma soma de fracções de numerador 1.
        Os egípcios não colocavam o sinal de adição - + - entre as fracções, porque os símbolos das operações ainda não tinham sido inventados.
        No sistema de numeração egípcio, os símbolos repetiam-se com muita frequência. Por isso, tanto os cálculos com números inteiros quanto aqueles que envolviam números fraccionários eram muito complicados.
        Assim como os egípcios, outros povos também criaram o seu próprio sistema de numeração. Porém, na hora de efectuar os cálculos, em qualquer um dos sistemas empregados, as pessoas esbarravam sempre nalguma dificuldade.
        Apenas por volta do século III a.C. começou a formar-se um sistema de numeração bem mais práctico e eficiente do que os outros criados até então: o sistema de numeração romano.
     
Contando com os romanos  
        De todas as civilizações da Antiguidade, a dos romanos foi sem dúvida a mais importante.
        O seu centro era a cidade de Roma. Desde da sua fundação, em 753 a.C., até ser ocupada por povos estrangeiros em 476 d.C., os seus habitantes enfrentaram um número incalculável de guerras de todos os tipos. Inicialmente, para se defenderem dos ataques de povos vizinhos; mais tarde nas campanhas de conquista de novos territórios.
        Foi assim que, pouco a pouco, os romanos foram conquistando a península Itálica e o restante da Europa, além de uma parte da Ásia e o norte de África.
        Apesar de a maioria da população viver na miséria, em Roma havia luxo e muita riqueza, usufruídas por uma minoria rica e poderosa. Roupas luxuosas, comidas finas e festas grandiosas faziam parte do dia-a-dia da elite romana.
        Foi nesta Roma de miséria e luxo que se desenvolveu e aperfeiçoou o número concreto, que vinha sendo usado desde a época das cavernas.
       Como foi que os romanos conseguiram isso?
     
O sistema de numeração romano  
        Os romanos foram espertos. Eles não inventaram símbolos novos para representar os números; usaram as próprias letras do alfabeto.
 
I  V  X  L C  D  M
        Como será que eles combinaram estes símbolos para formar o seu sistema de numeração?
        O sistema de numeração romano baseava-se em sete números-chave:
I tinha o valor 1.
V valia 5.
X representava 10 unidades.
L indicava 50 unidades.
C valia 100.
D valia 500.
M valia 1.000.
        Quando apareciam vários números iguais juntos, os romanos somavam os seus valores.
II = 1 + 1 = 2
XX = 10 + 10 = 20
XXX = 10 + 10 + 10 = 30
        Quando dois números diferentes vinham juntos, e o menor vinha antes do maior, subtraíam os seus valores.
IV = 4 porque 5 - 1 = 4
IX = 9 porque 10 – 1 = 9
XC = 90 porque 100 – 10 = 90
        Mas se o número maior vinha antes do menor, eles somavam os seus valores.
VI = 6 porque 5 + 1 = 6
XXV = 25 porque 20 + 5 = 25
XXXVI = 36 porque 30 + 5 + 1 = 36
LX = 60 porque 50 + 10 = 60

          Ao lermos o cartaz, ficamos a saber que o exercíto de Roma fez numa certa época MCDV prisioneiros de guerra. Para ler um número como MCDV, veja os cálculos que os romanos faziam:

        Em primeiro lugar buscavam a letra de maior valor.
M = 1.000
        Como antes de M não tinha nenhuma letra, buscavam a segunda letra de maior valor.
D = 500
        Depois tiravam de D o valor da letra que vem antes.
D – C = 500 – 100 = 400
        Somavam 400 ao valor de M, porque CD está depois e M.
M + CD = 1.000 + 400 = 1.400
        Sobrava apenas o V. Então:
MCDV = 1.400 + 5= 1.405
    Os milhares
        Como acabou de ver, o número 1.000 era representado pela letra M.
        Assim, MM correspondiam a 2.000 e MMM a 3.000.
        E os números maiores que 3.000?
        Para escrever 4.000 ou números maiores que ele, os romanos usavam um traço horizontal sobre as letras que representavam esses números.
       Um traço multiplicava o número representado abaixo dele por 1.000.
       Dois traços sobre o M davam-lhe o valor de 1 milhão.
       O sistema de numeração romano foi adotado por muitos povos. Mas ainda era difícil efectuar cálculos com este sistema.
       Por isso, matemáticos de todo o mundo continuaram a procurar intensamente símbolos mais simples e mais apropriados para representar os números.
       E como resultado dessas pesquisas, aconteceu na Índia uma das mais notáveis invenções de toda a história da Matemática: O sistema de numeração decimal.
     
Afinal os nossos números  
 
                No século VI foram fundados na Síria alguns centros de cultura grega. Consistiam numa espécie de clube onde os sócios se reuniam para discutir exclusivamente a arte e a cultura vindas da Grécia. 
        Ao participar numa conferência num destes clubes, em 662, o bispo sírio Severus Sebokt, profundamente irritado com o facto de as pessoas elogiarem qualquer coisa vinda dos gregos, explodiu dizendo:
  “Existem outros povos que também sabem alguma coisa! Os hindus, por exemplo, têm valiosos métodos de cálculos. São métodos fantásticos! E imaginem que os cálculos são feitos por apenas nove sinais!”.
        A referência a nove, e não dez símbolos, significa que o passo mais importante dado pelos hindus para formar o seu sistema de numeração – a invenção do zero - ainda não tinha chegado ao Ocidente.
        A ideia dos hindus de introduzir uma notação para uma posição vazia – um ovo de ganso, redondo – ocorreu na Índia, no fim do século VI . Mas foram necessários muitos séculos para que esse símbolo chegasse à Europa.
       Com a introdução do décimo sinal – o zero – o sistema de numeração tal qual o conhecemos hoje estava completo.
       Até chegar aos números que nós aprendemos a ler e escrever, os símbolos criados pelos hindus mudaram bastante.
       Hoje, estes símbolos são chamados de algarismos indo-arábicos.
       Se foram os matemáticos hindus que inventaram o nosso sistema de numeração, o que é que os árabes têm a ver com isso?
       E por que é que os símbolos
 
0  1  2  3  4  5  6  7  8  9
se chamam algarismos?
   
  Os árabes divulgam ao mundo os números hindus  
        Simbad, o marujo, Aladim e sua lâmpada maravilhosa, Harum al-Raschid são nomes familiares para quem conhece os contos de As mil e uma noites. Mas Simbad e Aladim são apenas personagens do livro, Harum al-Raschid realmente existiu. Foi o califa de Bagdá, do ano 786 até 809.
        Durante o seu reinado os povos árabes travaram uma série de guerras de conquista. E como prémios de guerra, livros de diversos centros científicos foram levados para Bagdá e traduzidos para a língua árabe.
        Em 809, o califa de Bagdá passou a ser al-Mamum, filho de Harum al-Rahchid.
Al-Mamum era muito vaidoso. Dizia com toda a convicção.
“Não há ninguém mais culto em todos os ramos do saber do que eu”.
        Como era um apaixonado da ciência, o califa procurou tornar Bagdá o maior centro científico do mundo, contratando os grandes sábios muçulmanos da época.

        Entre eles estava o mais brilhante matemático árabe de todos os tempos: al-Khowarizmi. 
        Estudando os livros de Matemática vindos da Índia e traduzidos para a língua árabe, al-Khowarizmi surpreendeu-se a princípio com aqueles estranhos símbolos que incluíam um ovo de ganso! 
        Logo, al-Khowarizmi compreendeu o tesouro que os matemáticos hindus haviam descobertos. Com aquele sistema de numeração, todos os cálculos seriam feitos de um modo mais rápido e seguro. Era impossível imaginar a enorme importância que essa descoberta teria para o desenvolvimento da Matemática.

        Al-Khowarizmi decidiu contar ao mundo as boas nova. Escreveu um livro chamadoSobre a arte hindu de calcular, explicando com detalhes como funcionavam os dez símbolos hindus.
        Com o livro de al-Khowarizmi, matemáticos do mundo todo tomaram conhecimento do sistema de numeração hindu.
        Os símbolos – 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 – ficaram conhecidos como a notação de al-Khowarizmi, de onde se originou o termo latino algorismus. Daí o nome algarismo.
        São estes números criados pelos matemáticos da Índia e divulgados para outros povos pelo árabe al-Khowarizmi que constituem o nosso sistema de numeração decimal conhecidos como algarismos indo-arábicos.
    Os números racionais  
       Com o sistema de numeração hindu ficou fácil escrever qualquer número, por maior que ele fosse.
 
0   13   35   98  1.024   3.645.872
        Como estes números foram criados pela necessidade prática de contar as coisas danatureza, eles são chamados de números naturais.
        Os números naturais simplificaram muito o trabalho com números fraccionários.
        Não havia mais necessidade de escrever um número fraccionário por meio de uma adição de dois fraccionários, como faziam os matemáticos egípcios.
        O número fraccionário passou a ser escrito como uma razão de dois números naturais.
        A palavra razão em matemática significa divisão. Portanto, os números inteiros e os números fraccionários podem ser expressos como uma razão de dois números naturais. Por isso, são chamados de números racionais.
        A descoberta dos números racionais foi um grande passo para o desenvolvimento da Matemática.
   
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Saber um pouco da história da Matemática!!!

1 O número concreto   
 

  Como surgiu o número?  
        Alguma vez parou para pensar nisso? Certamente já imaginou que um dia  alguém teve uma ideia genial e de repente inventou o número. Mas não foi bem assim.

         A descoberta do número não aconteceu de repente, nem foi uma única pessoa a responsável por essa façanha. O número surgiu da necessidade que as pessoas tinham de contar objetos e coisa.
        Nos primeiros tempos da humanidade, para contar eram usados os dedos, pedras, os nós de uma corda, marcas num osso...
       		 
Com o passar do tempo, este sistema foi-se aperfeiçoando até dar origem ao número.
        Hoje nós já sabemos lidar com os mais diferentes tipos de números: 
     
        Até ao final da história saberá em que época e porque é que o homem inventou cada um desses números.
   Contando objetos com outros objetos  
        Há mais de 30.000 anos, o homem vivia em pequenos grupos, morando em grutas e cavernas para se esconder dos animais selvagens e proteger-se da chuva e do frio.
        Veja estes caçadores.
  
        Para registar os animais mortos numa caçada, eles limitavam-se a fazer marcas numa vara. Nessa época o homem alimentava-se daquilo que a natureza oferecia: caça, frutos, sementes, ovos. Quando descobriu o fogo, apreendeu a cozinhar os alimentos e a proteger-se melhor contra o frio.
        A escrita ainda não tinha sido criada. Para contar, o homem fazia riscos num pedaço de madeira ou em ossos de animais.
        Um pescador, por exemplo, costumava levar consigo um osso de lobo. A cada peixe que conseguia tirar da água, fazia um risco no osso.		  

          Mais ou menos há 10.000 anos, o homem começou a modificar bastante o seu  sistema de vida. Em vez de apenas caçar e coletar frutos e raízes, passou a cultivar algumas plantas e criar animais. Era o início da agricultura, graças à qual aumentava muito a variedade de alimentos de que podia dispor.
       E para dedicar-se às actividades de plantar e criar animais, o homem não podia continuar a deslocar-se de um lugar para outro como antes. Passou então a fixar-se num determinado lugar, geralmente nas margens de rios e cavernas e desenvolveu uma nova habilidade: a de construir sua própria moradia.

        Começaram a surgir as primeiras comunidades organizadas, com chefe, divisão do trabalho entre as pessoas etc..
        Com a lã das ovelhas eram tecidos panos para a roupa.
O trabalho de um pastor primitivo era muito simples. De manhã bem cedo, ele levava as ovelhas para pastar. À noite recolhia as ovelhas, guardando-as dentro de um cercado. 
        Mas como controlar o rebanho? Como Ter certeza de que nenhuma ovelha havia fugido ou sido devorada por algum animal selvagem?
         O jeito que o pastor arranjou para controlar o seu rebanho foi contar as ovelhas com pedras. Assim:
       Cada ovelha que saía para pastar correspondia a uma pedra. O pastor colocava todas as pedras num saquinho. No fim do dia, à medida que as ovelhas entravam no cercado, ele ia retirando as pedras do saquinho. Que susto levaria se após todas as ovelhas estarem no cercado, sobrasse alguma pedra!
       Esse pastor jamais poderia imaginar que milhares de anos mais tarde, haveria um ramo da Matemática chamado Cálculo, que em latim quer dizer contas com pedras.
    Construindo o conceito de número  
        Foi contando objetos com outros objetos que a humanidade começou a construir o conceito de número.
        Para o homem primitivo o número cinco, por exemplo, sempre estaria ligado a alguma coisa concreta: cinco dedos, cinco peixes, cinco bastões, cinco animais, e assim por diante.
        A idéia de contagem estava relacionada com os dedos da mão.
        Assim, ao contar as ovelhas, o pastor separava as pedras em grupos de cinco.
        Do mesmo modo os caçadores contavam os animais abatidos, traçando riscos na madeira ou fazendo nós numa corda, também de cinco em cinco. 

       Para nós, hoje, o número cinco representa a propriedade comum de infinitas coleções de objetos: representa a quantidade de elementos de um conjunto, não importando se trata de cinco bolas, cinco skates, cinco discos ou cinco aparelhos de som.
        É por isso que esse número, que surgiu quando o homem contava objetos usando outros objetos, é um número concreto.
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GANHAMOS MAL PORQUÊ?



Somos os Europeus(CE) com menores salários. Porquê?


Os economistas têm a resposta: pouca produtividade. 

A produtividade calcula-se dividindo a produção nacional anual pela população activa nesse mesmo ano. Acha-se assim o que, em média, cada português contribui para os bens e serviços totais produzidos.


Os números não enganam. Nos últimos 16 anos o país passou de 40 para 43 por cento da produtividade média da CE. A Irlanda, um país pequeno, periférico e católico, no mesmo período viu a sua produtividade passar de 79 para 105 por cento da média europeia! Nós subimos 3% eles dispararam 36%. A responsabilidade é dos governos. Por exemplo, uma ponte lá fora custa uma ponte. Cá custa duas ou três. O desperdício de dinheiro público é uma das causa da baixa produtividade.

Hábitos pouco fecundos


Os trabalhadores das empresas portuguesas são menos cumpridores
Faltam muito:Na União Europeia, o absentismo devido a incapacidade para o trabalho por doença é menor do que em Portugal. Baixas fraudulentas e atestados sem justificação são comuns. O exemplo vem de cima, basta olhar para a Assembleia da República. As maracutaias inventadas pelos deputados para poderem faltar ultrapassam as dos estudantes mais calaceiros. Com exemplos destes não se pode pedir muito ao cidadão comum.

Chegam tarde e saem cedo: Em Portugal chega-se tarde ao emprego ( e já cansados por horas no trânsito) e sai-se cedo (experimente telefonar para alguns departamentos do estado às 16h20). Alguns portugueses são os mais rápidos do mundo, saem às 18h00 e às 17h30 já estão em casa.

Fazem almoços muito longos: Passar duas horas fora do escritório para almoçar é perfeitamente natural nas empresas portuguesas.

Convocam reuniões sem agenda: Gasta-se a manhã ou a tarde com reuniões que, se bem preparadas, não levariam mais de 30 minutos.

São tacanhos: Domina a ideia de que levantar problemas e dificuldades é sintoma de inteligência, quando deveria imperar a busca de soluções e o pragmatismo.

Culto da irresponsabilidade e inconsequência: A culpa morre quase sempre solteira. Além disso, na maioria das empresas não são estabelecidos objectivos de produtividade para os trabalhadores.

Falta de rigor: Não se cumprem os prazos, não há hábitos de trabalho, ganha a desorganização. Muitos portugueses procuram emprego , não trabalho.

Provérbios
As saloíces que se pagam caro
  • Se me dá vontade de trabalhar, sento-me e espero que passe.
  • Do trabalho mal feito não aparece o dono.
  • Trabalho comum, trabalho de nenhum.
  • Trabalho é sagrado, não lhe toques.
  • Trabalho se fez para burro e português.
  • Mais vale cavar com a língua do que com a enxada.
  • Mais vale uma mão inchada do que uma enxada na mão.
  • Mais vale bom folgar do que muito trabalhar.
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