2 Os números naturais
Os egípcios criam os símbolos (?)
Os egípcios criam os símbolos (?)
| Por volta do ano 4.000 a.C., algumas comunidades primitivas aprenderam a usar ferramentas e armas de bronze. Aldeias situadas nas margens de rios transformaram-se em cidades. A vida ia ficando cada vez mais complexa. Novas actividades iam surgindo, graças sobretudo ao desenvolvimento do comércio. Os agricultores passaram a produzir alimentos em quantidades superiores às suas necessidades. Com isso algumas pessoas puderam dedicar-se a outras actividades, tornando-se artesãos, comerciantes, sacerdotes, administradores... |  |
Como consequência desse desenvolvimento surgiu a escrita. Era o fim da Pré-História e o começo da História.
| Os grandes progressos que marcaram o fim da Pré-História verificaram-se com muita intensidade e rapidez no Egipto. Para fazer os projetos de construção das pirâmides e dos templos, o número concreto não era nada prático. |  |
| Ele também não ajudava muito na resolução dos difíceis problemas criados pelo desenvolvimento da indústria e do comércio. | |
Como efectuar cálculos rápidos e precisos com pedras, nós ou riscos num osso?
Foi partindo dessa necessidade imediata que estudiosos do Antigo Egipto passaram a representar a quantidade de objetos de uma colecção através de desenhos – os símbolos.
A criação dos símbolos foi um passo muito importante para o desenvolvimento da Matemática.
Na Pré-História, o homem juntava 3 bastões com 5 bastões para obter 8 bastões.
Hoje sabemos representar esta operação por meio de símbolos.
Foi partindo dessa necessidade imediata que estudiosos do Antigo Egipto passaram a representar a quantidade de objetos de uma colecção através de desenhos – os símbolos.
A criação dos símbolos foi um passo muito importante para o desenvolvimento da Matemática.
Na Pré-História, o homem juntava 3 bastões com 5 bastões para obter 8 bastões.
Hoje sabemos representar esta operação por meio de símbolos.
3 + 5 = 8
Muitas vezes não sabemos nem que objetos estamos a somar. Mas isso não importa: a operação pode ser feita da mesma maneira. Mas como eram os símbolos que os egípcios criaram para representar os números?
Contando com os egípcios
Há mais ou menos 3.600 anos, o faraó do Egipto tinha um súbdito chamado Aahmesu, cujo nome significa “Filho da Lua”.
Aahmesu ocupava na sociedade egípcia uma posição muito mais humilde que a do faraó: provavelmente era um escriba. Hoje Aahmesu é mais conhecido do que muitos faraós e reis do Antigo Egipto. Entre os cientistas, ele é chamado de Ahmes. Foi ele quem escreveu o Papiro Ahmes.
Aahmesu ocupava na sociedade egípcia uma posição muito mais humilde que a do faraó: provavelmente era um escriba. Hoje Aahmesu é mais conhecido do que muitos faraós e reis do Antigo Egipto. Entre os cientistas, ele é chamado de Ahmes. Foi ele quem escreveu o Papiro Ahmes.
 | O papiro Ahmes é um antigo manual de Matemática. Contém 80 problemas, todos resolvidos. | ||
A maioria envolve assuntos do dia-a-dia, como o preço do pão, a armazenagem de grãos de trigo, a alimentação do gado.
Observando e estudando como eram efetuados os cálculos no Papiro Ahmes, não foi difícil aos cientistas compreenderem o sistema de numeração egípcio. Além disso, a decifração dos hieróglifos – inscrições sagradas das tumbas e monumentos do Egipto – no século XVIII também foi muito útil.
O sistema de numeração egípcio baseava-se em sete números-chave:
Observando e estudando como eram efetuados os cálculos no Papiro Ahmes, não foi difícil aos cientistas compreenderem o sistema de numeração egípcio. Além disso, a decifração dos hieróglifos – inscrições sagradas das tumbas e monumentos do Egipto – no século XVIII também foi muito útil.
O sistema de numeração egípcio baseava-se em sete números-chave:
1 10 100 1.000 10.000100.000 1.000.000
Os egípcios usavam símbolos para representar esses números.
| Um traço vertical representava 1 unidade: Um osso de calcanhar invertido representava o número 10: Um laço valia 100 unidades: Uma flor de lótus valia 1.000: Um dedo dobrado valia 10.000: Com um girino os egípcios representavam100.000 unidades: Uma figura ajoelhada, talvez representando um deus, valia 1.000.000: |        | ||
Todos os outros números eram escritos combinando os números-chave.
Na escrita dos números que usamos actualmente, a ordem dos algarismos é muito importante.
Se tomarmos um número, como por exemplo:
Na escrita dos números que usamos actualmente, a ordem dos algarismos é muito importante.
Se tomarmos um número, como por exemplo:
256
e trocarmos os algarismos de lugar, vamos obter outros números completamente diferentes:
265 526 562 625 652
 | Ao escrever os números, os egípcios não se preocupavam com a ordem dos símbolos. Observe no desenho que apesar de a ordem dos símbolos não ser a mesma, os três garotos do Antigo Egito estão escrevendo o mesmo número: 45 |
Os papiros da Matemática egípcia
Quase tudo o que sabemos sobre a Matemática dos antigos egípcios baseia-se em dois grandes papiros: o Papiro Ahmes e o Papiro de Moscovo.
O primeiro foi escrito por volta de 1.650 a.C. e tem aproximadamente 5,5 m de comprimento e 32 cm de largura. Foi comprado em 1858 por um antiquário escocês chamado Henry Rhind. Por isso é conhecido também como Papiro de Rhind. Actualmente encontra-se no British Museum, de Londres.
O Papiro de Moscovo é uma estreita tira de 5,5 m de comprimento por 8 cm de largura, com 25 problemas. Encontra-se actualmente em Moscovo. Não se sabe nada sobre o seu autor.
O primeiro foi escrito por volta de 1.650 a.C. e tem aproximadamente 5,5 m de comprimento e 32 cm de largura. Foi comprado em 1858 por um antiquário escocês chamado Henry Rhind. Por isso é conhecido também como Papiro de Rhind. Actualmente encontra-se no British Museum, de Londres.
O Papiro de Moscovo é uma estreita tira de 5,5 m de comprimento por 8 cm de largura, com 25 problemas. Encontra-se actualmente em Moscovo. Não se sabe nada sobre o seu autor.
A técnica de calcular dos egípcios
Com a ajuda deste sistema de numeração, os egípcios conseguiam efectuar todos os cálculos que envolviam números inteiros.
Para isso, empregavam uma técnica de cálculo muito especial: todas as operações matemáticas eram efectuadas através de uma adição.
Por exemplo, a multiplicação 13 * 9 indicava que o 9 deveria ser adicionado treze vezes.
Para isso, empregavam uma técnica de cálculo muito especial: todas as operações matemáticas eram efectuadas através de uma adição.
Por exemplo, a multiplicação 13 * 9 indicava que o 9 deveria ser adicionado treze vezes.
13 * 9 = 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9
A tabela abaixo ajuda a compreender como os egípcios concluíam a muliplicação:
| Número de parcelas | Resultado |
| 1 | 9 |
| 2 | 18 |
| 4 | 36 |
| 8 | 72 |
Eles buscavam na tabela um total de 13 parcelas; era simplesmente a soma das três colunas destacadas:
1 + 4 + 8 = 13
O resultado da multiplicação 13 * 9 era a soma dos resultados desta três colunas:
9 + 36 + 72 = 117
Os egípcios eram realmente muito habilidosos e criativos nos cálculos com números inteiros.
Mas, em muitos problemas práticos, eles sentiam necessidade de expressar um pedaço de alguma coisa através de um número.
E para isso os números inteiros não serviam.
Mas, em muitos problemas práticos, eles sentiam necessidade de expressar um pedaço de alguma coisa através de um número.
E para isso os números inteiros não serviam.
Descobrindo a fração
Por volta do ano 3.000 a.C., um antigo faraó de nome Sesóstris...
“... repartiu o solo do Egito nas margens do rio Nilo entre os seus habitantes. Se o rio levava qualquer parte do lote de um homem, o faraó mandava funcionários examinarem e determinarem por medida a extensão exacta da perda.”
Estas palavras foram escritas pelo historiador grego Heródoto, há cerca de 2.300 anos.
O rio Nilo atravessa uma vasta planície.
O rio Nilo atravessa uma vasta planície.
| Uma vez por ano, na época das cheias, as águas do Nilo sobem muitos metros acima do seu leito normal, inundando uma vasta região ao longo das suas margens. Quando as águas baixam, deixam descoberta uma estreita faixa de terras férteis, prontas para o cultivo. |  |
Desde a Antiguidade, as águas do Nilo fertilizam os campos, beneficiando a agricultura do Egipto. Foi nas terras férteis do vale deste rio que se desenvolveu a civilização egípcia.
Cada metro de terra era precioso e tinha de ser muito bem cuidado.
Cada metro de terra era precioso e tinha de ser muito bem cuidado.
Sesóstris repartiu estas preciosas terras entre uns poucos agricultores privilegiados.
Todos os anos, durante o mês de Junho, o nível das águas do Nilo começava a subir. Era o início da inundação, que durava até Setembro.
Ao avançar sobre as margens, o rio derrubava as cercas de pedra que cada agricultor usava par marcar os limites do terreno de cada agricultor.
Usavam cordas para fazer a medição.
Havia uma unidade de medida assinalada na própria corda. As pessoas encarregadas de medir esticavam a corda e verificavam quantas vezes aquela unidade de medida estava contida nos lados do terreno. Daí, serem conhecidas como estiradores de cordas.
No entanto, por mais adequada que fosse a unidade de medida escolhida, dificilmente cabia um número inteiro de vezes no lados do terreno.
Foi por essa razão que os egípcios criaram um novo tipo de número: o número fracionário.
Para representar os números fraccionários, usavam fracções.
Todos os anos, durante o mês de Junho, o nível das águas do Nilo começava a subir. Era o início da inundação, que durava até Setembro.
Ao avançar sobre as margens, o rio derrubava as cercas de pedra que cada agricultor usava par marcar os limites do terreno de cada agricultor.
Usavam cordas para fazer a medição.
Havia uma unidade de medida assinalada na própria corda. As pessoas encarregadas de medir esticavam a corda e verificavam quantas vezes aquela unidade de medida estava contida nos lados do terreno. Daí, serem conhecidas como estiradores de cordas.
No entanto, por mais adequada que fosse a unidade de medida escolhida, dificilmente cabia um número inteiro de vezes no lados do terreno.
Foi por essa razão que os egípcios criaram um novo tipo de número: o número fracionário.
Para representar os números fraccionários, usavam fracções.
As complicadas fracções egípcias
Os egípcios interpretavam a fracção somente como uma parte da unidade. Por isso, utilizavam apenas as fracções unitárias, isto é, com numerador igual a 1.
Para escrever as fracções unitárias, colocavam um sinal oval alongado sobre o denominador.
As outras fracções eram expressas através de uma soma de fracções de numerador 1.
Os egípcios não colocavam o sinal de adição - + - entre as fracções, porque os símbolos das operações ainda não tinham sido inventados.
No sistema de numeração egípcio, os símbolos repetiam-se com muita frequência. Por isso, tanto os cálculos com números inteiros quanto aqueles que envolviam números fraccionários eram muito complicados.
Assim como os egípcios, outros povos também criaram o seu próprio sistema de numeração. Porém, na hora de efectuar os cálculos, em qualquer um dos sistemas empregados, as pessoas esbarravam sempre nalguma dificuldade.
Apenas por volta do século III a.C. começou a formar-se um sistema de numeração bem mais práctico e eficiente do que os outros criados até então: o sistema de numeração romano.
Para escrever as fracções unitárias, colocavam um sinal oval alongado sobre o denominador.
As outras fracções eram expressas através de uma soma de fracções de numerador 1.
Os egípcios não colocavam o sinal de adição - + - entre as fracções, porque os símbolos das operações ainda não tinham sido inventados.
No sistema de numeração egípcio, os símbolos repetiam-se com muita frequência. Por isso, tanto os cálculos com números inteiros quanto aqueles que envolviam números fraccionários eram muito complicados.
Assim como os egípcios, outros povos também criaram o seu próprio sistema de numeração. Porém, na hora de efectuar os cálculos, em qualquer um dos sistemas empregados, as pessoas esbarravam sempre nalguma dificuldade.
Apenas por volta do século III a.C. começou a formar-se um sistema de numeração bem mais práctico e eficiente do que os outros criados até então: o sistema de numeração romano.
Contando com os romanos
De todas as civilizações da Antiguidade, a dos romanos foi sem dúvida a mais importante.
O seu centro era a cidade de Roma. Desde da sua fundação, em 753 a.C., até ser ocupada por povos estrangeiros em 476 d.C., os seus habitantes enfrentaram um número incalculável de guerras de todos os tipos. Inicialmente, para se defenderem dos ataques de povos vizinhos; mais tarde nas campanhas de conquista de novos territórios.
Foi assim que, pouco a pouco, os romanos foram conquistando a península Itálica e o restante da Europa, além de uma parte da Ásia e o norte de África.
O seu centro era a cidade de Roma. Desde da sua fundação, em 753 a.C., até ser ocupada por povos estrangeiros em 476 d.C., os seus habitantes enfrentaram um número incalculável de guerras de todos os tipos. Inicialmente, para se defenderem dos ataques de povos vizinhos; mais tarde nas campanhas de conquista de novos territórios.
Foi assim que, pouco a pouco, os romanos foram conquistando a península Itálica e o restante da Europa, além de uma parte da Ásia e o norte de África.
Apesar de a maioria da população viver na miséria, em Roma havia luxo e muita riqueza, usufruídas por uma minoria rica e poderosa. Roupas luxuosas, comidas finas e festas grandiosas faziam parte do dia-a-dia da elite romana.
Foi nesta Roma de miséria e luxo que se desenvolveu e aperfeiçoou o número concreto, que vinha sendo usado desde a época das cavernas.
Como foi que os romanos conseguiram isso?
Foi nesta Roma de miséria e luxo que se desenvolveu e aperfeiçoou o número concreto, que vinha sendo usado desde a época das cavernas.
Como foi que os romanos conseguiram isso?
O sistema de numeração romano
Os romanos foram espertos. Eles não inventaram símbolos novos para representar os números; usaram as próprias letras do alfabeto.
I V X L C D M
Como será que eles combinaram estes símbolos para formar o seu sistema de numeração?
O sistema de numeração romano baseava-se em sete números-chave:
O sistema de numeração romano baseava-se em sete números-chave:
I tinha o valor 1.
V valia 5.
X representava 10 unidades.
L indicava 50 unidades.
C valia 100.
D valia 500.
M valia 1.000.
V valia 5.
X representava 10 unidades.
L indicava 50 unidades.
C valia 100.
D valia 500.
M valia 1.000.
Quando apareciam vários números iguais juntos, os romanos somavam os seus valores.
II = 1 + 1 = 2
XX = 10 + 10 = 20
XXX = 10 + 10 + 10 = 30
XX = 10 + 10 = 20
XXX = 10 + 10 + 10 = 30
Quando dois números diferentes vinham juntos, e o menor vinha antes do maior, subtraíam os seus valores.
IV = 4 porque 5 - 1 = 4
IX = 9 porque 10 – 1 = 9
XC = 90 porque 100 – 10 = 90
IX = 9 porque 10 – 1 = 9
XC = 90 porque 100 – 10 = 90
Mas se o número maior vinha antes do menor, eles somavam os seus valores.
VI = 6 porque 5 + 1 = 6
XXV = 25 porque 20 + 5 = 25
XXXVI = 36 porque 30 + 5 + 1 = 36
LX = 60 porque 50 + 10 = 60
XXV = 25 porque 20 + 5 = 25
XXXVI = 36 porque 30 + 5 + 1 = 36
LX = 60 porque 50 + 10 = 60
| Ao lermos o cartaz, ficamos a saber que o exercíto de Roma fez numa certa época MCDV prisioneiros de guerra. Para ler um número como MCDV, veja os cálculos que os romanos faziam: |  |
Em primeiro lugar buscavam a letra de maior valor.
M = 1.000
Como antes de M não tinha nenhuma letra, buscavam a segunda letra de maior valor.
D = 500
Depois tiravam de D o valor da letra que vem antes.
D – C = 500 – 100 = 400
Somavam 400 ao valor de M, porque CD está depois e M.
M + CD = 1.000 + 400 = 1.400
Sobrava apenas o V. Então:
MCDV = 1.400 + 5= 1.405
Os milhares
Como acabou de ver, o número 1.000 era representado pela letra M.
Assim, MM correspondiam a 2.000 e MMM a 3.000.
E os números maiores que 3.000?
Para escrever 4.000 ou números maiores que ele, os romanos usavam um traço horizontal sobre as letras que representavam esses números.
Um traço multiplicava o número representado abaixo dele por 1.000.
Dois traços sobre o M davam-lhe o valor de 1 milhão.
O sistema de numeração romano foi adotado por muitos povos. Mas ainda era difícil efectuar cálculos com este sistema.
Por isso, matemáticos de todo o mundo continuaram a procurar intensamente símbolos mais simples e mais apropriados para representar os números.
E como resultado dessas pesquisas, aconteceu na Índia uma das mais notáveis invenções de toda a história da Matemática: O sistema de numeração decimal.
Assim, MM correspondiam a 2.000 e MMM a 3.000.
E os números maiores que 3.000?
Para escrever 4.000 ou números maiores que ele, os romanos usavam um traço horizontal sobre as letras que representavam esses números.
Um traço multiplicava o número representado abaixo dele por 1.000.
Dois traços sobre o M davam-lhe o valor de 1 milhão.
O sistema de numeração romano foi adotado por muitos povos. Mas ainda era difícil efectuar cálculos com este sistema.
Por isso, matemáticos de todo o mundo continuaram a procurar intensamente símbolos mais simples e mais apropriados para representar os números.
E como resultado dessas pesquisas, aconteceu na Índia uma das mais notáveis invenções de toda a história da Matemática: O sistema de numeração decimal.
Afinal os nossos números
 | No século VI foram fundados na Síria alguns centros de cultura grega. Consistiam numa espécie de clube onde os sócios se reuniam para discutir exclusivamente a arte e a cultura vindas da Grécia. Ao participar numa conferência num destes clubes, em 662, o bispo sírio Severus Sebokt, profundamente irritado com o facto de as pessoas elogiarem qualquer coisa vinda dos gregos, explodiu dizendo: |
“Existem outros povos que também sabem alguma coisa! Os hindus, por exemplo, têm valiosos métodos de cálculos. São métodos fantásticos! E imaginem que os cálculos são feitos por apenas nove sinais!”.
A referência a nove, e não dez símbolos, significa que o passo mais importante dado pelos hindus para formar o seu sistema de numeração – a invenção do zero - ainda não tinha chegado ao Ocidente.
A ideia dos hindus de introduzir uma notação para uma posição vazia – um ovo de ganso, redondo – ocorreu na Índia, no fim do século VI . Mas foram necessários muitos séculos para que esse símbolo chegasse à Europa.
Com a introdução do décimo sinal – o zero – o sistema de numeração tal qual o conhecemos hoje estava completo.
Até chegar aos números que nós aprendemos a ler e escrever, os símbolos criados pelos hindus mudaram bastante.
Hoje, estes símbolos são chamados de algarismos indo-arábicos.
Se foram os matemáticos hindus que inventaram o nosso sistema de numeração, o que é que os árabes têm a ver com isso?
E por que é que os símbolos
A ideia dos hindus de introduzir uma notação para uma posição vazia – um ovo de ganso, redondo – ocorreu na Índia, no fim do século VI . Mas foram necessários muitos séculos para que esse símbolo chegasse à Europa.
Com a introdução do décimo sinal – o zero – o sistema de numeração tal qual o conhecemos hoje estava completo.
Até chegar aos números que nós aprendemos a ler e escrever, os símbolos criados pelos hindus mudaram bastante.
Hoje, estes símbolos são chamados de algarismos indo-arábicos.
Se foram os matemáticos hindus que inventaram o nosso sistema de numeração, o que é que os árabes têm a ver com isso?
E por que é que os símbolos
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
se chamam algarismos?
Os árabes divulgam ao mundo os números hindus
Simbad, o marujo, Aladim e sua lâmpada maravilhosa, Harum al-Raschid são nomes familiares para quem conhece os contos de As mil e uma noites. Mas Simbad e Aladim são apenas personagens do livro, Harum al-Raschid realmente existiu. Foi o califa de Bagdá, do ano 786 até 809.
Durante o seu reinado os povos árabes travaram uma série de guerras de conquista. E como prémios de guerra, livros de diversos centros científicos foram levados para Bagdá e traduzidos para a língua árabe.
Durante o seu reinado os povos árabes travaram uma série de guerras de conquista. E como prémios de guerra, livros de diversos centros científicos foram levados para Bagdá e traduzidos para a língua árabe.
Em 809, o califa de Bagdá passou a ser al-Mamum, filho de Harum al-Rahchid.
Al-Mamum era muito vaidoso. Dizia com toda a convicção.
Al-Mamum era muito vaidoso. Dizia com toda a convicção.
“Não há ninguém mais culto em todos os ramos do saber do que eu”.
Como era um apaixonado da ciência, o califa procurou tornar Bagdá o maior centro científico do mundo, contratando os grandes sábios muçulmanos da época.
| Entre eles estava o mais brilhante matemático árabe de todos os tempos: al-Khowarizmi. Estudando os livros de Matemática vindos da Índia e traduzidos para a língua árabe, al-Khowarizmi surpreendeu-se a princípio com aqueles estranhos símbolos que incluíam um ovo de ganso! Logo, al-Khowarizmi compreendeu o tesouro que os matemáticos hindus haviam descobertos. Com aquele sistema de numeração, todos os cálculos seriam feitos de um modo mais rápido e seguro. Era impossível imaginar a enorme importância que essa descoberta teria para o desenvolvimento da Matemática. |  |
Al-Khowarizmi decidiu contar ao mundo as boas nova. Escreveu um livro chamadoSobre a arte hindu de calcular, explicando com detalhes como funcionavam os dez símbolos hindus.
Com o livro de al-Khowarizmi, matemáticos do mundo todo tomaram conhecimento do sistema de numeração hindu.
Os símbolos – 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 – ficaram conhecidos como a notação de al-Khowarizmi, de onde se originou o termo latino algorismus. Daí o nome algarismo.
São estes números criados pelos matemáticos da Índia e divulgados para outros povos pelo árabe al-Khowarizmi que constituem o nosso sistema de numeração decimal conhecidos como algarismos indo-arábicos.
Com o livro de al-Khowarizmi, matemáticos do mundo todo tomaram conhecimento do sistema de numeração hindu.
Os símbolos – 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 – ficaram conhecidos como a notação de al-Khowarizmi, de onde se originou o termo latino algorismus. Daí o nome algarismo.
São estes números criados pelos matemáticos da Índia e divulgados para outros povos pelo árabe al-Khowarizmi que constituem o nosso sistema de numeração decimal conhecidos como algarismos indo-arábicos.
Os números racionais
Com o sistema de numeração hindu ficou fácil escrever qualquer número, por maior que ele fosse.
0 13 35 98 1.024 3.645.872
Como estes números foram criados pela necessidade prática de contar as coisas danatureza, eles são chamados de números naturais.
Os números naturais simplificaram muito o trabalho com números fraccionários.
Não havia mais necessidade de escrever um número fraccionário por meio de uma adição de dois fraccionários, como faziam os matemáticos egípcios.
O número fraccionário passou a ser escrito como uma razão de dois números naturais.
A palavra razão em matemática significa divisão. Portanto, os números inteiros e os números fraccionários podem ser expressos como uma razão de dois números naturais. Por isso, são chamados de números racionais.
A descoberta dos números racionais foi um grande passo para o desenvolvimento da Matemática.
Os números naturais simplificaram muito o trabalho com números fraccionários.
Não havia mais necessidade de escrever um número fraccionário por meio de uma adição de dois fraccionários, como faziam os matemáticos egípcios.
O número fraccionário passou a ser escrito como uma razão de dois números naturais.
A palavra razão em matemática significa divisão. Portanto, os números inteiros e os números fraccionários podem ser expressos como uma razão de dois números naturais. Por isso, são chamados de números racionais.
A descoberta dos números racionais foi um grande passo para o desenvolvimento da Matemática.
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